浅析引力半径和轨道半径的异同

匡海发

摘 要：《万有引力与航天》这章的特点是公式多、模型多，学生很难区分引力半径和轨道半径。笔者通过万有引力这章常见的3种模型来对引力半径和轨道半径加以区分。

关键词：万有引力；引力半径；轨道半径

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）7-0064-2

笔者在讲解卫星变轨问题时，学生提出：我们根据万有引力F=G和牛顿第二定律F=ma可以推出a=G（如图1）。在A点：r=r，所以，a=a。但是，卫星要从轨道1变为轨道2，卫星必须在A点进行一次瞬间加速，所以v

1 “中心天体+环绕天体”模型

如图2所示，M为中心天体的质量，R为中心天体的星球半径，m为环绕天体的质量，r为环绕天体的轨道半径，周期为T，根据圆周运动知识则有：G=mr。

引力半径指计算任何两个质点之间万有引力时，质点与质点之间的距离，用r表示。轨道半径指物体做圆周运动时，物体到圆心之间的距离，用r表示。根据定义可知，在“中心天体+环绕天体”模型中，引力半径r和轨道半径r相同。

2 双星天体模型

如图3所示，两颗星体质量分别为M、m，它们之间的距离为L，现它们绕O点做匀速圆周运动，轨道半径分别为rM、rm，角速度为ω，则根据圆周运动知识有：

M：G=Mω2rM（1）

m：G=Mω2rm（2）

（1）和（2）式中，引力半径是L，M和m的轨道半径分别为rM、rm，可以看出引力半径和轨道半径在双星系统中是不同的。

3 卫星变轨模型

如图4所示，轨道1是近圆轨道（停泊轨道），轨道2是椭圆轨道（转移轨道），轨道3是远地圆轨道（预设轨道），如卫星要从轨道1变为轨道2，需要在图4中的A位置瞬间加速，所以v

首先，要分析曲线运动的质点在曲线上某点的运动情况，往往先要弄清楚曲线在这一点的切线方向及程度。切线方向可由切线的斜率反映出来，弯曲程度可用极限圆曲率半径反映出来。如果在曲线上某点附近取一段，只要取得足够短，那么，这一小段就可以看成一段很短的圆弧，此圆弧所在的圆叫做曲线在该点的极限圆，极限圆的半径叫曲线在该点的曲率半径（符号ρ）。

下面讨论椭圆在A和B点的曲率半径：

假设质点的运动轨迹方程为：+=1，如图5所示，把质点的椭圆运动看成两个相互垂直的同频率简谐振动的叠加，即：

根据公式an=计算向心加速度时，笔者认为r应指的是该点的曲率半径（即轨道半径），即使卫星从轨道1变为轨道2，在近地点有瞬间加速。但是，最后通过两种方式计算出来加速度，也得出相同的结论：。

笔者认为在讲解《万有引力与航天》这章内容时，如果能抓住本章的一个中心（万有引力提供向心为中心）、两个半径（引力半径和轨道半径）、多种变化（公式变形）进行教学，也许会收到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]温黎明.椭圆曲率半径的四种求法[J].中学生数理化·教与学，2009（12）：121—122.（栏目编辑 邓 磊）