经验视角下的数学活动应突出“六要”

袁志伟

【摘要】数学基本活动经验是2011版修订版课标提出的“四基”之一的重要目标，其在课堂实践层面存在着“虚化”和“泛化”两种值得注意和警惕的现象。活动经验，离不开活动，但学生经历或参与了数学活动，未必就一定获得了数学活动经验。那怎样的活动才真正利于数学活动经验的积累？或者，数学活动又该注意些什么？本文从目标、过程、内涵等六个方面做探讨和分析。

【关键词】数学活动经验

活动经验，离不开活动，学生的数学活动经验是在参与数学活动过程的基础上获得的。学生没有经历数学活动，就谈不上获得数学活动经验，但经历或参与了数学活动，未必就一定获得了数学活动经验。那么，怎样的数学活动有利于经验的积累？或者，经验视角下的数学活动又该注意些什么呢？

一、 目标要明确

为何有经历（活动）却不一定有经验，这是一线教师普遍感到困惑也是首先需要厘清的问题。回到生活中，相信我们都有过这样的经历：“那次我也去了，怎么一点儿印象都没有？”反思现象背后的原因，这说明要在经历中获得经验，需要引起思想上的关注，思维上的投入，情感上的体验。也即活动首先得有明确的目标，漫无目标的活动是难以积累相关活动经验的。因此，作为数学活动的设计者，教师在备课时应努力摆脱只设计活动，不考虑活动经验积累的问题，应把活动经验的达成作为教学的重要目标之一，在设计活动之初就予以充分考虑。需要提及的是，这样的目标设定不是空泛的，而是真实具体的。由此，教师在认真梳理教材中有哪些典型题材能分别承载哪些不同数学活动经验的同时，应根据课时教学内容有重点地确定让学生积累哪一方面的数学活动经验，并依据教学内容挖掘数学活动经验的生长点，使数学活动成为数学知识的固着点，活动经验的积累点。只有这样，数学活动经验对于教师的教和学生的学而言，才不再是抽象飘缈、不可捉摸的，而是具体鲜活，能够驾驭的。

如在教学平行四边形、三角形面积公式的推导时，除要让学生理解和掌握平行四边形、三角形面积计算公式，会用公式计算它们的面积外，更为重要的，教师应明确并让学生获得这样的数学活动经验：在学习新知识、解决新问题时，可以通过转化把陌生的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的。积累了这样的活动经验，学生在学习梯形的面积、圆的面积时，才会借鉴这一经验，并自觉地运用转化思想，通过割、补、拼、移、转等方法把梯形、圆转化为已学过的图形，探索其面积计算公式，并在随后的数学活动中深化、拓展数学经验。数学活动是具有数学教学目标的学生主动参与的学习活动。教师只有在活动前准确把握教学目标，活动中充分调动学生的认知能力，才能使学生在活动中获得更多的活动经验，才能真正提升学生的数学学习能力。

二、 过程要充分

数学活动经验是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。经历数学活动过程既是积累基本活动经验的基本前提，也是唯一的一条通道。需要提及的是，这里所说的“经历过程”并不仅仅是指看得见、摸得着的、物化了的动手操作的过程，也不仅仅是指让学生经历知识发生、发展的过程，更为重要的是指让学生经历探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等。基于此，教师在教学中要引导学生在充分感知的基础上，适时观察、思考、发现、比较，揭示出感性经验背后理性、抽象的数学经验，让学生获取具有概括性、普遍性的数学知识，积累发现问题、研究问题的经验。

例如，教学《长方体和正方体的体积》，笔者引领学生经历了这样的学习过程——第一层次：拿出12个1立方厘米的正方体，摆放成长方体，可以摆出长、宽、高分别是多少的长方体？说一说，怎样计算长方体的体积？学生得出：每一行的体积单位数×行数×层数=一共的体积单位数。第二层次：要求学生仍然用着12个1立方厘米的正方体，摆一摆，并想象出一个体积要比12立方厘米更大的长方体。学生对长方体的体积与从它的一个顶点引出的三条棱之间的关系，有了更清楚的认识。第三层次：出示一个长方体图，求长方体的体积。学生很快有了自己的理解和感悟：长方体的体积=长×宽×高。第四层次：用字母公式巩固运用。从这四个层次的活动过程，可以看出“数学化”的四个步骤：具体操作—表象操作—抽象概括—数学公式。充分展开的过程，不仅丰富了感觉、知觉的经验，而且也为相互之间的思维碰撞提供了丰富的资源，从而实现了操作经验与思考经验、策略性经验的有机融合。这显然是常见的“摆一摆、总结公式”，动手不动脑的教学所无可比拟的。

三、 内涵要丰富

当下的一些数学活动尽管重视了学生多样化的“个人体验”，但却缺失了应有的“活动内涵”，导致学生无法真正获得有价值的活动经验。数学活动经验的核心是思维活动的经验，“没有某种思维的因素便不能产生有意义的经验”。由此，设计数学活动时，教者除需对活动所蕴含的教育价值、知识间的实质性联系、学生思维水平和思维路径作深入的了解外，更需思考所设计的数学活动是否富有思考意义和讨论价值，能否引发认知冲突，是否具有浓厚情趣并能触动学生的心灵深处。只有给学生留出足够的思维空间，不断提出具有适度挑战性的问题，并不失时机地加以启发和引导，数学活动才能充分、有效展开，学生也才能够在思维、情感共鸣的基础上真正完成活动经验的内化和高质量的积累。

例如，教学《游戏规则的公平性》，单纯的摸球活动本身并不具备多少数学意义。那怎样设计突出数学本质、富有数学内涵的数学活动呢？以下是一位老师的教学——师：大家认为刚才的游戏还是不公平，现在该怎样改变袋中的球，才能使游戏变得公平呢？生：红球和白球的个数一样多，游戏就公平了。教师将袋中的红球和白球调整为同样多。师：现在红球和白球的个数一样多了，摸球的结果又可能会怎样呢？生1：两种球摸到的次数应该相等。生2：两种球摸到的次数应该差不多。……师：在 规则公平的情况下摸球的结果到底会怎样呢？实践出真知，大家再分小组自己动手试一试。学生进行摸球游戏，教师巡视，学生汇报。师：观察各小组的活动记录大家有什么发现？生：各组的情况也不一样。有的摸到红球多一些，有点摸到白球多一些，也有相等的。师：为什么会这样呢？生：公平只是可能性相同，机会均等，摸球的结果并不一定每次都一样多，这还得看“运气”。师：看来游戏规则公平，只表示双方赢的机会是均等的，即使在规则公平的情况下，游戏的结果仍然是“一起皆有可能”！假如我们把各组的结果都汇总起来又会有什么发现呢？课后有兴趣的同学可以自己去探索。

数学活动的本质是思维活动，数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中逐步积淀。上例中，活动前的预测，既暴露了学生的真实思维，又帮助学生明晰了随后活动的目的性和必要性；活动后的比较，则是一种分析方法上的引领和审视视角上的指导。学生在“做”与“思”的结合中，已有经验不断被激活，有缺陷的经验逐渐被修正，粗糙的经验渐渐趋于精致，浅层次的经验获得有效的提升，新生成的数学活动经验很自然地嵌入学生的经验系统中。

四、 交流要及时

经验是属于个体的，同一数学活动由于学生认知、思维方式的不同，不同的学生会形成不同的经验，这是一个方面；另一方面更为一般的情况是虽然学生经历了充分的活动，但学生个体在经历活动过程后所形成的经验往往是零散、肤浅、模糊的。要克服个体数学活动经验的局限性，要将这些零散、肤浅的经验清晰化、条理化、结构化，在数学活动后，教师就应及时给学生提供一个合作交流的平台，这样做既可以让学生快乐地分享每一个人独特的思考与经验，又可以让个体的活动经验在群体的经验交流中相互补充，相互充实，不断丰富、发展。这显然有利于促进学生对问题的深入理解和深刻感悟，帮助学生完成经验由低层次到高层次的超越，实现经验的优化和内化。

请看《梯形的面积》教学片段——师：探索平行四边形、三角形的面积计算公式时，同学们已经积累了一定的探索图形面积的经验，回想一下，都有哪些？生1：把陌生的转化为熟悉的。生2：把未知的转化为已知的。师：不错。今天我们就借助已有的经验来探索梯形的面积。那如何把梯形转化成已学过的图形呢？（学生思考后动手操作，教师提供充分的活动时间）师：现在交流一下你们是怎样转化的，说说为什么会这样想。生：我用两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形，因为探究三角形面积时就是这样转化的。（该同学的想法得到了大部分同学的认可。）师：你能借助已有的经验并灵活动用，真不错！其他同学还有别的方法吗？生：我是这样转化的（图1），我把梯形转化成了一个平行四边形与一个三角形，因为这两个图形的面积我们都学过了，只要求出这两个图形的面积，加起来就是梯形的面积了。师：这方法怎样？谁来说说想法？生：这个方法不错，而且与前面转化的方法不一样，我没有想到。师：老师也觉得这方法与众不同，能有自己独特的想法，往往就是发明创造的开始。还有其他想法？生：我还有一种方法（图2）。师：你为什么这样想？生：因为探究三角形面积计算公式时，就要这样的做法（图3）。师：交流使我们的认识更全面，更深刻了，那这样不同方法的背后是否又有什么相同的地方的？同学们的讨论交流在继续……

经验的生成来源于彼此间基于思考的交流和实践。上例教学的成功恰在于此。上例中，操作活动后，教者为学生搭建了对话交流的平台，让学生最大限度地去交流理解、体验感悟，学生在对话交流中找到了原有经验与新知的联系，在比较沟通中达成了对已有经验的改造、生长和建构，学生的数学活动经验在辨析中去粗取精，不断丰富、完善和提升。

五、 指导要到位

纵观当下的数学课堂，数学活动得到了前所未有的重视，但学生充分地活动是否就是“自由地”活动呢？答案是否定的。这一方面是因为缺少组织、规划、引领的数学活动，不仅活动本身的效益低下，而且活动经验的积累也往往杂乱低效、无从谈起；另一方面，也正如荷兰数学家弗兰登塔尔所言：“在积极倡导学生‘再创造（即通过再创造来学习数学）的同时，我们也应清楚地指明这种‘再创造应是‘教师指导下的再创造。”当然，这样的指导显然不是简单的越俎代庖，由“幕后”跃居“台前”。教师应该是智慧的挖掘者，方法的指导者，策略的引领者。应通过精心设计的问题，去点燃思维火花，激发探究欲望，为学生解疑解惑架设桥梁、提供阶梯。应引导学生善于深入地思考问题，帮助学生从复杂的表面现象中发现和抓住事物的规律和本质，从而使学生充分积累“数学化”的活动经验。

例如，教学执教《轴对称图形》一课，当学生认识“轴对称图形”的特征后，教师出示三角形、五边形、梯形、平行四边形、圆这五种图形，让学生判断这些图形是否是轴对称图形。在交流过程中，针对“平行四边形是不是轴对称图形”，课堂上出现了两种不同的声音：一种认为是轴对称图形，理由是从中间画一条线，可以把平行四边形分成形状大小完全一样的两个小平行四边形；另一种认为不是，理由是对折之后，两边的图形没有完全重合。两种意见僵持不下，各不相让，这对教师的指导提出了挑战。值得肯定的是，课中教师并没有作简单提醒或直接告诉，而是用“想一想，左右两边大小一样是否就一定对称？看一个图形是不是轴对称图形，关键看什么？”这两个问题去启发学生作更为深入的思考，学生在激烈的认知冲突中，在再次深入的思考、争议、辩论中，逐渐把握了轴对称图形概念的关键：“对折”和“完全重合”，学生对轴对称图形的本质形成了新的认识。有效的数学学习必定是在新问题情境下运用已有的知识经验来成功处理新信息、新问题的活动，而教师的恰当引领则提升了活动的有效性。

六、 反思要跟进

比较众多专家学者对经验的分析，笔者更为认同刘加霞教授的观点，也即：经验的获得需要“领悟”与“转化”，通过参与具体活动直接获得具体经验；然后对所经历的活动进行回顾、反思等，内化为能够理解的合乎逻辑的、抽象的经验（最后还要将获得的经验在解决新问题中进行证实和运用）。由此，当学生的数学活动经验积累到一定程度后，教师就要引导学生在回顾的基础上进行深度反思，这样一方面可以发挥经验因素在数学学习中的积极作用，另一方面也能使学生有意识地避免经验因素的消极作用，使积累起来的数学活动经验能够更好地为学生所用，并逐渐建立起属于他们自己的数学直观，而这正是积累数学活动经验的核心和关键所在。

例如，教学“厘米的认识”一课，当学生经历了丰富的动手操作活动获得了对测量单位的感性认识后，某教师这样引导：“回想一下，刚才我们是怎样认识1厘米的？”学生纷纷总结了自己的做法：“我是从米尺上找到1厘米的。”“我的手指甲宽约是1厘米。”“我知道1厘米有这么长（用手比划）。”“我还闭起眼睛想1厘米有多长。”“根据1厘米的长度，我估计数学书大约宽18厘米。”“不用估，测量一下就知道数学书的宽度。”……面对学生的具体经验，教师进一步引导：“同学们回想起了学习1厘米长度的各种活动，谁能完整地说说我们可通过哪些活动来认识厘米？”学生交流后，教师引导学生总结：学习1厘米的活动有认一认（认识1厘米有多长）；比一比（比画1厘米有多长）；找一找（身体上或生活中的1厘米在哪里）；估一估（估测具体物品长有几厘米）；量一量（测量物体的长度，并和预估的结果进行比较）。在这里教师十分注重学生经历1厘米认识操作活动后的反思，学生获得了建立1厘米概念的清晰的、有条理的数学活动经验，这为以后学习同类或相似知识积累了经验。

倘若活动没有围绕本质内涵进行适时的反思和交流，学生获得的数学活动经验便将失去数学意义；如果不能将体验抽象、提炼为经验，那么，这种经历、体验将白白丧失其应有的价值。经历丰富的数学活动后，教师经常引导学生反思以下问题：“刚才我们一起进行什么活动？为什么要做这个活动？”“在活动中你获得了什么？你有哪些困难？又是如何克服的？”“我们是用哪些方法获得结论的？这些方法在什么地方还能用到？”“通过学习又引发了你的哪些思考？你能提出哪些新的问题？”……显然更有利于学生在理性思辨和内省领悟中提升、丰富并积累教学活动经验。

总之，数学活动经验的获得离不开数学活动，而数学活动的成效则直接影响经验积累的质量和层次，在这方面，还需要我们进行更多的实践探索和理性思考。