初中数学教师的学科知识研究

韩继伟，黄毅英，林智中（．东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 004；．香港教育学院 课程与教学学系，香港；. 香港中文大学 教育学院，香港）



初中数学教师的学科知识研究

韩继伟1，黄毅英2，林智中3
（1．东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024；
2．香港教育学院 课程与教学学系，香港；3. 香港中文大学 教育学院，香港）

摘要：目前对数学教师的学科知识研究主要集中在对教师的数学概念、法则等明确的命题知识的考察上，而对于问题解决的实践知识研究还不多见.研究从广义知识观的视角出发，通过教师问题解决过程的分析去探讨教师具有什么样的问题解决的实践知识？这种学科知识是否与教学有关？研究发现：中学数学教师具有3种问题解决的实践知识：细节性知识、策略性知识和结构性知识.专家教师比普通教师的问题解决的实践知识更丰富，这说明问题解决的实践知识是与教师教学相关的一种学科知识，它是隐藏在专家教师教学专长背后的重要知识基础.

关键词：教师知识；学科知识；问题解决的实践知识

1 问题提出

分析20世纪80年代以来数学教师的学科知识的实证研究可以发现，对中小学数学教师学科知识的研究概括起来主要有两个方向：一个是研究教师对中小学数学概念的理解，如斜率、面积、极限、函数、导数、分数等概念［1～8］；另一个则是以 Ball为代表的教师对中小学数学法则的理解，如整数减法、乘法，分数除法法则［9～11］.无论是数学概念还是数学法则都是一种“知道是什么”的命题性知识.很少有研究去探索教师通过解题所积累起来“知道怎样做”的实践性知识.教师学科知识研究的根本动力在于寻找与教师教学所需要的学科知识基础.那么，除了数学概念、法则等命题性知识，为了更好地教学，数学教师还需要什么样的学科知识呢？这是研究者们一直思考的问题.事实上，数学教学活动中既有数学命题性知识的教学，也有数学问题解决的教学.20世纪八九十年代的国际数学教育曾提出：问题解决是学校数学教学的核心［12］.问题解决教学能否成功的关键是教师要知道哪些是典型的数学问题，通过这些典型问题的解决要学生学会哪些数学思想方法，为此中国的一线数学教师在工作中不仅钻研数学概念、定理，同时也会投入很多精力研究中学数学解题.但遗憾的是目前对教师的数学命题性知识已经有了很多了解，而对教师通过解题到底获得了什么样的知识却知之甚少［13］.为此，从广义知识观的视角出发，将数学教师的学科知识的研究拓展到教师问题解决的实践知识这个新维度.具体研究以下两个问题：（1）中国中学数学教师有什么样的问题解决的实践知识？（2）问题解决的实践知识是否与教师教学专业水平有关？研究中问题解决的实践知识是指通过问题解决活动总结的关于某一类型问题的典型特征、常用解法的知识.这种知识不是学习数学概念、定理之后自然形成的，而是在解决数学问题的实践活动中获得的，在心理学上也将这种实践知识称为问题图式.

2 研究设计与方法

2.1 研究设计的思路

研究的目的就是要尝试探索出一种与教师专业水平发展有关的新的教师学科知识——问题解决的实践知识.认知心理学家常使用“专家—新手”比较的方式去探寻隐藏在某种专业能力背后的知识基础.借鉴心理学的这种分析性研究的范型，通过“专家教师—年长普通教师—年轻普通教师”的比较去探寻教师问题解决的实践知识与教学专业水平之间的关系.认定专家教师是高教学水平组，年长和年轻普通教师是低教学水平组，如果专家教师在问题解决的实践知识上比年长和年轻普通教师都高，这说明在专家教师身上所表现出来的高教学水平并不只是因为其教学时间长，而是与专家教师所具备的这种学科知识有关.那么，在这个初步的分析性研究的基础上将来继续做处置性实验研究，把这种学科知识传授给普通教师后考察普通教师是否因此而提高教学表现，从而为深入揭示这种学科知识与教学专业水平之间的关系提供更有说服力的证据；反之，如果专家教师在问题解决的实践知识上并没有比两种普通教师都高，这就说明这种学科知识与教师教学专业水平之间没有关系，在未来的研究中没有进一步研究这种学科知识的必要.为此，选择了吉林省长春市的3所不同水平的初中，它们分别是市里较好的学校、区里较好的学校和普通学校.在每所学校中都选择专家教师、年长普通教师和年轻普通教师各一名，一共有9名被试教师.研究中的专家教师主要是指在教学上取得良好教学效果的、获得同行教师认可和推荐的、具有10年以上教学经验的教师.年长普通教师指和专家教师有同样教龄但在教学上未获得同行教师特别赞许的教师.年轻普通教师指教龄在3年以下的教师.在这里需要特别强调的一点是对教师的划分是从教学质量的角度而不是从解题的角度来区分的，研究中所说的专家教师是教学效果和质量好的老师，这其中并

2.2 研究方法的确定

问题解决的实践知识是内隐的，蕴含在解题过程中的知识，是无法通过解题者最后给出的答案而完全了解他拥有什么样的实践性知识.因此，实践性知识的研究需要深入到具体的解题活动过程中去，需要了解问题解决者思考过程中的细节.鉴于研究问题的这种性质，研究采取质化的研究取向，主要采取工具性个案研究的方法.其理由是：虽然研究者对问题解决的实践知识有一些经验层面的感受，但在研究之前并不了解教师的这种学科知识的样态、性质.可以说，教师问题解决的实践知识的研究是一种探索性的研究，没有形成具体的研究假设.因此，需要以个案为工具，通过对个案活动的深入研究达到了解这种未知的教师学科知识的目的.具体地说，研究者与吉林省的两名数学教师共同选编了3道几何题目作为探索教师问题解决的实践知识的切入点，这里不只是看教师解答这 3道题的结果，而是由此访谈他们的思路，通过对教师解题过程的观察、访谈来了解教师问题解决的实践知识.

2.3 研究过程的描述

研究分预备性研究和正式研究两个阶段.在预备性研究阶段，通过半结构访谈和教师日常习题总结资料的分析了解教师对哪些类题目具有丰富的实践经验.在正式研究阶段以预备阶段所获得的资料为依据，用几何题作为正式访谈的题目.几何题目中所蕴涵的典型图式比较明显，通过观察解题者引辅助线的做法和他们解答几何题目的过程，解题者头脑中问题解决的经验更容易被观察并刻画出来.选择这3个几何题目的原因是这些题目蕴涵多种类型的问题解决的实践知识，有数学概念、未知量、基本图形和数学结构，这可以让研究者从多个角度去考察研究对象头脑中所储存的问题图式类型.另外，所选的这3个题目也是教师们普遍熟悉的，起点比较低，普通教师也能给出一个或者两个解答.但同时这3个题目也都可以一题多解，能够给出多种不同解法也并不容易.因此这3个题目在低起点的同时又具有很好的区分度，能将不同水平的研究对象区分出来.在正式研究阶段的资料搜集过程中，首先给教师一个题目，在教师读过题目之后，还未开始解题之前，主试问下面的两个问题：（1）您能读懂这个题目吗？有没有不理解的地方？（2）看过这个题目之后，您有哪些想法？会考虑从哪些方面入手解决这个问题？回答这两个问题之后教师开始解题.研究者在旁边观察教师的解题过程.在教师解决了这个问题之后，主试问下面的两个问题：（1）您以前是否见过和这道题类似的问题？（2）这道题目中有哪些您熟悉的东西？通过这些访谈引发研究对象头脑中问题解决的实践知识.访谈后将录音转成文字.然后把每位教师在解决问题过程中所想到的、使用到的与问题解决有关的内容进行编码、分类后整理出表格.为了提高研究的效度采取的第一个措施是搜集、分析多渠道获得的资料支持研究结论.研究中搜集、分析的资料不仅包括访谈的资料，也包括访谈过程中的观察笔记、教师的书面解题资料.另外，采取多人分析资料的方法提高研究效度.资料分析的过程由文章的第一作者和编制附录中题目的两名中学教师分别独立完成，经过反复的交流讨论，最后资料分类的一致性在90%以上.

3 研究结果

3.1 中学数学教师问题解决的实践知识

研究发现教师表现出 3种不同的问题解决的实践知识.第一种实践知识是与题目中的某个细节或某个概念有关的，比如看到切线这个概念就会想到要连接过切点的直径得到直角，这种知识称为细节性知识.第二种实践知识是在制定解题计划时所表现出来的，与确定目标、子目标有关的知识.如证明线段成比例问题要采取先证平行的方法，称之为策略性知识.第三种实践知识是与元素（或数量）之间组织方式有关的.同样的几个元素可以组织成不同的结构，在几何中结构性知识主要是一些有意义的基本图形，称之为结构性知识.研究中教师所表现出的问题解决的实践知识归纳如表1所示.首先对表1所列的一些项目做以简要说明.表1 第2列是“对象的特点”，在解题开始时教师所关注的对象是有选择性的，不会对题目中的所有对象都平均分配注意力.教师给予特别关注的对象可能是已知条件中的某个概念、也可能是某个要证明的结论，也可能是部分的图形，根据这些特点对实践知识进行分类，给出表1第1列中的“名称”.表1第3列是“与对象相应的图式”.解题中教师以第2列中的特殊对象为线索，提取出头脑中与此相关的经验图式.比如教师见到切线这个概念，会由以往的解题经验想到要作过切点的弦或找弦切角这个图式，就会得到相等的两个角.尽管这个图式的合法性是以弦切角定理为逻辑保证的，但弦切角定理作为一种“知道是什么”的陈述性知识已经成了一个“知道怎样做”的背后的根据，已经有切线问题图式的教师不会把弦切角定理结合具体题目再做辨析比对.下面具体介绍教师的3种问题解决的实践知识.

3.1.1 细节性知识

在一道数学题目中有很多的已知条件，但在问题解决过程中这些已知条件并不是同等重要的.解题时有些条件并不会引起被试教师的注意，而有些条件却能够引起被试教师的特别关注，并以这些条件为线索将头脑中的相关数学命题提取出来.研究中使用的第1题如图1所示：

图1

已知：过弦AB的一端B，作一切线BC，过另一端A作BC的垂线AC与直径AD.请用几种不同的方法证明∠DAB=∠BAC.

这道题目的表面有很多的信息，如弦AB、切线BC、直径AD、AC是BC的垂线等，但被试教师给予特别关注的已知条件有两个：一个是直径AD，另一个是切线BC.表1第5行第6列显示有 T-1-2等 6位教师见到直径会想到连接直径所对的圆周角.而表1第2—4行显示教师和切线有关的问题解决的实践知识更为丰富：所有教师见到切线都想到了要连接圆心和切点，有5位教师想到了要连接过切点的弦，有一位教师想到了做圆的另一条切线，这些就是一种以切线为核心的几种图式.在这种图式的索引下解题者可以提取出头脑中切线的性质定理、弦切角定理、切线长定理等与切线有关的数学命题性知识.由对教师T-1-1解题前的访谈可以看到在他的头脑中有一个比较清晰的与切线问题有关的实践性知识.

这是一道和切线有关的典型题目，在解和圆的切线有关的题目的时候，我通常会告诉学生有几种常见的引辅助线的方法.一个是连接过切点的半径，这样就会有直角，或者是设法使用弦切角定理，引过切点的弦，能得到相等的角.还可以做圆的另一条切线，利用切线长定理得到两个相等的角和两个相等的线段.最后，有切线、割线的时候要直接考虑切割线定理.引出这些辅助线之后就可以通过定理将切线这个条件转化成了角和线段（教师T-1-1）.

表1 问题解决的实践知识总结

图2，图3和图4就是教师T-1-1按照上面的思路所提供的3种不同方法，具体证明方法略.

其它8位教师也都具有类似于教师T-1-1的上述问题解决的实践知识，所不同的是其它教师可能只具有其中的一两点.

3.1.2 策略性知识

解决数学问题时被试教师也会从结论出发，由最终所要证明的结论目标去思考需要先通过怎样的方法达到什么样的子目标.在研究中使用的第2题如图5所示，要证明的结论是4条线段成比例.

图2

图3

图4

图5

已知：PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O 于B、C两点，D为AB的中点，连PD并延长交AC于E，请用几种不同的方法证明AE∶EC=PA2∶PC2

面对这样的问题被试教师想到的是：遇到线段成比例有两种方法：一种是相似，三角形相似能出现比例的情况.还有平行线，利用平行等分线段定理（教师T-1-3）.解决第2题的目标是证明4条线段成比例，为了达到这个目标，被试教师先制定了子目标，那就是证明两个三角形相似或找到平行线.而为了证明两个三角形相似，有5位教师（T-2-1，T-3-1，T-1-2，T-2-2，T-2-3）又制定了如下计划，先把4条线段的乘积式写成比例式 AE/EC=PB/PC，再看上下对应的两条线段AE与EC、PB与PC能否组成三角形，所组成的两个三角形能否相似.如果不相似，再看左右对应的两条线段AE与PB、EC与PC能否组成两个相似三角形.在尝试直接找平行和相似失败后,这些教师开始考虑换项后找平行，在这个过程中有的教师使用了另一种类型的问题解决的实践知识，也即下面要介绍的结构性知识.

在研究中，除教师T-3-3只考虑到通过平行一种方式证明比例线段之外，其它的8位教师都想到要通过证明平行或相似来达到证明4条线段成比例的目的.特别地，教师T-1-1还提出尝试利用面积法解决4条线段成比例问题的策略.除教师T-1-1外，其他教师在最初制定解题策略时都没有提到过面积法，在随后的解题过程和最后给出的证明中也只有教师T-1-1给出了面积法，由此可见不同的解题策略知识在宏观上对问题解决有直接的指导作用，解题者的策略知识越丰富解题过程中的思路也越开阔.

3.1.3 结构性知识

在研究中发现，当教师面对一个复杂的几何图形的时候，往往会从这个复杂图形中发现某些自己所熟悉的基本图形，从而将一个复杂的几何图形分解成几个基本图形的组合.以研究中第2题（见图5）为例，在尝试直接用平行或两个三角形相似来证明4条线段成比例失败后，大部分教师的解题一度陷入了困境，但有的教师却能很快从题目的复杂图形中发现了自己熟悉的基本图形X型（图6，图7）A型（图8，图9），并通过构造这个基本图形而找到了中间的代换线段，找到了继续前进的突破点.

过B点作BM//AC，构造如图6所示的X型，将AE换成BM.使用这个方法的有教师T-1-1、T-2-1、T-2-2、T-3-2、T-1-3.

过A点作AM//PC，构造如图7所示的X型，将AM换成PB.使用这个方法的有教师T-1-1、T-2-1、T-3-2.

过B点作BM//DE，构造如图8所示的A型，将AE换成EM.使用这个方法的有教师 T-1-1、T-2-1、T-1-3.

过A点作AM//PE，构造如图9所示的A型，将PB换成MP.使用这个方法的有教师T-1-1、T-2-1.

A型和X型（也有教师称之为“8”字型）这种结构的图形对这些教师来讲是很熟悉的：

过A、B、C、D这些点引平行线，能构造出A型和X型的基本图形.用多种方法去构造这两个基本图形是很重要的，教学生如何具体地去解哪一道题并不重要，那能讲出啥来呀？关键是要选择一个典型的问题，教会学生一种解决问题、思考问题的方法.构造A型和X型的基本图形就是解决某一类问题的一种方法，所以训练学生用多种方法构造这两个基本图形，这很必要（教师T-1-1）.

图6

图8

图7

图9

这些基本图形往往能使解题者具有某种直觉，直接从复杂图形中找到自己熟悉的某种结构，从而将题目中的部分元素组织起来以促进问题的解决.在研究中的第3题中可以更加清楚地看到这种结构性知识的存在.研究中的第3题是：“请编出几道几何证明题，要求题目中至少有角平分线和平行线”.研究者希望通过“角平分线”和“平行线”这样较少的限制条件引发教师说出头脑中已有的比较熟悉的几何题目，从而直接探索教师头脑中的一些结构性知识.在这道题目的解答中，除了教师T-3-3和教师T-2-2没有给出有共同结构的题目之外，其余7位被试教师都很快编出了具有共同结构的 2～3个题目，下面是教师所编的比较有代表性的题目.

如图10已知：OD为∠AOB的角平分线，CD//OB.求证：△COD为等腰三角形.（教师T-2-3）

如图11已知：在△ABC中，∠B的角平分线BF和∠C的角平分线CF交于F点.过F点DE//BC.求证：BD+ CE=DE.（教师T-1-3、T-1-1、T-2-1、T-3-1）

如图12已知：△ABC中，CE平分∠ACB，交AB于E，CD平分∠ACB的外角.过E点作ED//BC交AC于G.求证：EG=DG.（教师T-1-3、T-1-2、T-1-1）

图10

如图13已知：△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB且OD//AB，OE//AC.求证：△ODE的周长等于线段B C的长.（教师T-2-1、T-3-1）

图13

尽管对所编题目的限制非常少，但可以发现这些教师所编的数学问题彼此却非常相似.这些题目都有一个共同点，都是从角平分线上一点向角的两边作平行线，从而形成一个等腰三角形.被试教师所编的题目不只是上面的4种，但基本上与上面的题目大同小异，都没有脱离上面所说的这个基本共同点.特别有趣的是，有两位专家教师还将这种图形编成了口诀.教师T-3-1的口诀是“角分平等腰成”.教师 T-2-1称这种图形为“二平一等”.第一平呢就是角平分线，第二平呢是平行线，等就是等腰三角形. 3.2 中学数学教师的问题解决的实践知识与教学之间的关系

为了分析不同类型教师在问题解决的实践知识上的差别，根据表1的数据从教师的角度归纳了每位教师问题解决的实践知识（如表2所示）.下面根据表2列出的3种问题解决的策略知识对不同类型教师进行具体比较：

表2 每个个案的问题解决的实践知识总结

在细节性知识上，专家教师比年长普通教师和年轻普通教师略多一些.3位专家教师中有两位（T-1-1，T-3-1）表现出 3种细节性知识，一位专家教师（T-2-1）表现出两种细节性知识.而普通教师中只有一位年长普通教师（T-2-2）表现出 3种细节性知识，其它普通教师都是两种细节性知识.

在策略性知识上，一位普通教师（T-3-3）表现出一种策略性知识，5位普通教师表现出两种策略性知识，3位专家教师中有两位（市里好学校的专家教师T-1-1和区里好学校的专家教师T-2-1）表现出3种策略性知识，这两位专家教师在问题解决中不仅表现出普通教师都有的两种策略知识，而且还有普通教师所没有的独特的策略性知识.专家教师T-1-1在第2题证明线段成比例中使用面积法的策略（表2中的S24）和专家教师T-2-1在第1题通过证弧等去证角等（表2中的S21）的策略不仅是这两位教师独有的，而且是这两道题目的所有证明方法中最简单的两种证法，表现出专家教师高于普通教师的丰富问题解决的实践知识.

在结构性知识上，专家教师和普通教师的差异是非常明显的.结构性知识排在前4位的教师是T-1-1（8种），T-2-1（6种），T-1-3（5种），T-3-1（3种）.除了教师T-1-3外，其它3位都是专家教师.这其中前两位专家教师（T-1-1，T-2-1）的不仅结构性知识明显多于普通教师，而且这两位专家教师所提供的证明方法也是最多的.

根据上面的分析发现，尽管在3种问题解决的实践知识上专家教师都比普通教师更丰富，但专家教师和普通教师在结构性知识上的差异更大.在这3种问题解决的实践知识中相对而言细节性知识是一种微观的知识，策略知识是一种抽象的宏观的知识.而结构性知识是介于二者之间的中等抽象程度的知识.而这种知识是与问题解决有直接关系的，是影响问题解决水平高低的一个主要因素.Zeitz（1997）提出［14］，专家的知识是中等抽象的观念表征（moderately abstract conceptual representation，简称MACR）.这种中等抽象表征的知识具有图式性质，它比细节表征的知识更易于提取，使用起来更快、更容易.所谓专长主要表现为在某一个给定领域里能够在中等抽象水平上恰当灵活地加工信息（Zeitz，1997），因此，中等抽象表征的知识是专家与新手在知识上的主要差别.这里的研究也支持这一结论.当然，这里的结果只是一个探索性研究的初步结论，若要更确定地比较 3者是否有显著性差异，需扩大样本并用量化的方法做统计上的检验.研究也发现教师问题解决的实践知识与教师所在学校也有一定的关系，好学校的教师如（T-1-1，T-1-3）比一般学校教师表现出更强的问题解决的实践知识.

4 结 论

通过研究可以看到，数学教师不仅拥有数学的概念、法则等明确的命题性知识，同时也具有与问题解决有关的不同类型的实践性学科知识.更重要的是研究发现：和普通教师相比，专家教师拥有更丰富的问题解决的实践知识.这说明这种类型的学科知识与教师的教学相关，这表明在教师学科知识的研究中探索问题解决的实践知识这个新维度是有意义的，它可能是造成教师之间差异的最重要的学科知识.Ryle就曾经指出：“知道怎样做”的实践性知识比“知道是什么”的命题性知识更重要，因为前者更能体现一个人的智力.但这只是一个初步的分析性研究，问题解决的实践知识是否就是专家教师教学专长的根本要素？这还需要进一步的处置性研究提供更有说服力的证据.

［参 考 文 献］

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［责任编校：周学智］

中图分类号：G451

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2016）02-0049-06

收稿日期：2015-12-14

基金项目：北京师范大学中国基础教育质量监测协同创新中心自主课题项目——基于监测的教师专业发展创新模式研究（2016-03-008-BZK01）

作者简介：韩继伟（1972—），女，内蒙古通辽人，副教授，主要从事数学教育与教师教育研究．不意味着这些教师的解题水平也高.

Study of Secondary Mathematics Teachers’ Subject Matter Knowledge

HAN Ji-wei1， WONG Ngai-ying2， LAM Chi-chung3
（1. School of Mathematics and Statistics， Northeast Normal University， Jilin Changchun 130024， China；2. Department of Curriculum and Instruction， Hong Kong Institute of Education， Hong Kong， China；3. Faculty of Education， the Chinese University of Hong Kong， Hong Kong， China）

Abstract:Teacher’s subject matter knowledge is a topic of teacher knowledge. In the domain of mathematics， researchers focus on the explicit knowledge that can be expressed in propositions， such as mathematics concepts and rules. The research on practical knowledge of problem solving is not common. We focus on this kind of knowledge in this paper and compare the difference between expert teachers and non-expert teachers.

Key words:teacher knowledge； subject matter knowledge； practical knowledge of problem solving