在“解决问题”中渗透数学思想方法

潘振璋

摘 要：“问题解决”是小学数学学习的重要能力，贯穿在小学数学课程的全部内容之中。学生在“解决问题”的过程中，不仅需要获得适应未来社会生活所必需的数学知识以及数学技能，更需要掌握数学思想方法。在“解决问题”的教学过程中，教师要渗透分类思想方法、集合思想方法、模型思想方法、数形结合思想方法。

关键词：解决问题；数学思想方法；渗透

在知识大爆炸的时代，掌握科学的思维方法比获得知识更重要。数学思想是数学方法的进一步提炼和概括，它的抽象概括程度较高；数学方法则具有可操作性，数学思想要依靠数学方法来实现。在“解决问题”的教学过程中，教师要精心挖掘数学知识和问题背后所蕴含的数学思想方法，引导学生在掌握知识、解决问题的同时，体验和领悟数学思想方法，发展数学思维。

一、渗透分类思想方法

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐步进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决。其实质就是“分而治之、各个击破、综合归纳”。这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法，是数学领域解决问题比较常用的思想方法。

分类的思想方法从一年级下册的“物体分类整理”到六年级的“数据整理”“正、反比例”，在小学数学中占有比较重要的地位，而且应用广泛。

在日常教学中，由于条件与问题之间的联系不是单一的，情况比较复杂，用一般的思维方法难以解决。不妨根据问题的实际情况和需要恰当分类，并逐类分析思考求解，从而顺利解决问题。需要注意的是，应用分类思想方法解决问题时要抓住问题的本质特征合理分类，做到不重复不遗漏。

例如，图中一共有多少个三角形？

此题如果直接数，很容易数错，可以运用分类的思想解决：最小的三角形面积为1，则面积为1的三角形有22个；面积为4的三角形有10个；面积为9的三角形有2个，因此共有三角形有34个。

二、渗透集合思想方法

小学数学的很多内容渗透了集合思想。例如在数的概念方面，自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解；在一年级时通过两组数量相等的实物建立一一对应的关系，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是在两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集。

在小学数学教学中广泛渗透集合思想，我们要做到以下几点。

1.正确理解有关概念。只有正确理解有关概念，我们才能运用集合进行直观的运算。

2.正确把握集合思想的教学要求。集合思想虽然在小学数学中广泛渗透，但是集合的知识并不是小学数学的必学内容，因而应注意把握好知识的难度和要求，尽量使用通俗易懂的语言渗透集合思想。文氏图、维恩图除了可以表示概念系统及概念间的关系外，利用维恩图进行集合的直观运算，还可以解决一些分类计数的问题。

3.集合思想的教学要贯彻小学数学的始终。如上所述，集合思想在一年级学习之初，学生在学习认数和分类等知识中就已经有所接触，一直到高年级学习公因数和公倍数、三角形和四边形的分类、数的分类（正数、0、负数）、六年级（下）总复习中对各领域知识的系统整理和复习等等，在不同年级和不同知识领域中都有所渗透。这里涉及了用集合语言表示概念及概念间的关系、集合的元素之间的对应关系、集合的运算等等。因此，集合思想的渗透不是一朝一夕的事情，而是坚持不懈的长期的过程。

三、渗透模型思想方法

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征，及数量关系和空间形式的一种数学结构。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式、图形和图表，因而它与符号化思想有很多的相通之处，同样具有普遍的意义。数学模型是运用数学的语言和工具，对现实的一些信息进行适当简洁化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并要经过实践的检验。

模型思想在小学数学中广泛渗透，在教学中要做到几点：1.让学生学习的过程经历类似于数学家建模的再创造；2.根据对现实情景的分析，利用已有的数学知识建构模型；3.应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进行解决各种问题。

以植树问题为例，可以封闭圆圈植树问题为核心模型，再演示出其他模型。封闭圆圈植树中的点与间隔一一对应，长度÷间隔=棵数。再根据实际情况演示出其他模型：（1）一端栽一端不栽与封闭圆圈植树模型相同：长度÷间隔=棵数；（2）两端都栽：长度÷间隔+1=棵数；（3）两端都不栽：长度÷间隔-1=棵数。

四、渗透数形结合思想方法

数形结合思想方法，就是把问题的数量关系和空间形式相互渗透、相互转化，其实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，使得抽象的数量关系直观化、生动化、简单化，有利于学生准确把握数学问题的本质。数形结合思想在数学中的应用大致可以分为两种情形：一是借助数的精确性、程序性和可操作性来明确阐述形的某些属性，可称为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐述某些概念和数之间的关系，可称为“以形助数”。

数形结合思想的教学，我们要注意：1.正确理解数形结合思想。数形结合中的“形”主要是几何图形和图像；2.适当拓展数形结合思想的运用。数形结合思想中的以数解形在中学应用得较多，小学数学中常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。

正如数学家华罗庚的论述：“数以形而直观，形以数而入微。”解决一些数量关系复杂、一般思考方法难以解决的问题时，可以把问题中的数量关系用图形直观形象地表示出来，变抽象思维为形象思维，然后“按图索骥”，迅速发现解决问题的方法和途径。

例如，六年级同学表演团体操，如果每排少站3人，正好排10行；如果每排多站5人，正好排6行。六年级有多少名同学参加团体操表演？

题中数量关系比较抽象复杂，可以用长方形ABCD 的长表示团体操队列的排数，宽表示每排的人数，用长方形的面积表示参加团体操表演的人数。“如果每排少站3人，正好排10行”即长方形ABCD 的宽减少3，长增加到10；“如果每排多站5人，正好排6行”即长方形的宽增加5，长减少到6。由于参加团体操表演的人数不变，也就是长方形的面积不变，即长方形ABCD 的面积=长方形ALJG 的面积=长方形AEFH 的面积，所以图中S1（长方形ELJK ）=S2（长方形GKFH ） ，而长方形ALJG = 6×（ 3 + 5 ）÷（10-6 ）×10=120 ，即六年级有120 名同学参加团体操表演。

正如杜甫的诗句“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声”所表达的心境一样，数学思想方法的教学也应像春雨一样，不断地滋润着学生的心田。在“解决问题”中渗透数学思想方法，可以实现数学素养的真正提高。

作者单位：福建省永春县达埔中心小学校