对八年级数学这两个“思考”的认识

杨甫友

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）06-0227-02

对人教版八年级数学上册107页，109页关于平方差公式和完全平方差公式的思考的一点看法：

思考1 你能根据图15.2-1中的面积说明平方差公式吗？

笔者在上这节内容时，学生对这道题目不知所措，作为教师当然知道编者的意图，但作为学生根本不知道这个题目的意思，过去提到图形的面积一般都是求阴影部分的面积，如果这道题目是要我们求阴影部分的面积，那面积应该为a2-ab+b2，有的学生去求整个图形的面积为a2+ab-b2。

这些都不是而平方差公式左边的式子（a+b）（a-b）和右边的式子a2-b2，这两个都不是这个题目要求我们求出的图形的面积.同学们干脆说此图形不能说明平方差公式。我只有引导学生把这个图形进行折分（如图1），这样学生们一看就懂。这是什么原因呢？

题目对题设与结论根本没有说清楚，同学们刚学习平方差公式，也对这个公式的结构还不够熟悉，也就不能灵活应用在实际生活当中。不会从平方差公式的结构去考虑图形的面积，究竟要我们做什么？从图形上看要么求阴影部分的面积，要么求整个图形的面积，都不是平方差公式的表达式，說明图形也没说明白。

编者为了求新、奇、趣，为了吸引学生的注意力，为了体现新课程的理念，煞费苦心地创设迷人的问题情境，这道题目如果同学们能够正确理解，当然能够发展学生的思维能力，但对于这道题目在这里成了同学们猜答案、对答案的过程，笔者认为这道题目应该作一下修改，题目设置应简洁，也能体现课堂教学的时间、学生的思考、消化、吸收的时间，怎样学生就不会有特大的压力。这个问题的题目及图形应作修改：

如 请从这个大正方形边长为a的纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，然后把胜余的图形拼成一个长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

（a+b）（a-b）=a2-b2即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

图形折分后同学们都称赞这个题目其实不难呀，为什么我们就没想到呢？这里只用到两种不同的方法求出了同一个图形的面积，根据面积相等就得到了平方差公式。

思考2 你能根据图15.2-2和15.2-3中的面积说明完全平方公式吗？

这里受到上一道题目来的影响，同学们更是茫然，想到这个图形可能也是求某一部分的面积，象上一题目不是求整体的面积；其实不然恰恰这个题目是求整个图形的面积，用整体的观念求出正方形的面积为（a+b）2，再用分割法求出各个图形的面积再求它们的和a2+2ab+b2。这样很简单就说明了完全平方和公式。此题目及图形也应该作修改：

如 你能根据图2图形中的数据，用不同的方法求出整个图形的面积说明完全平方和公式吗？

（a+b）2=a2+2ab+b2

即两数的和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍。

而图15.2-3中如果从（a-b）2出发来考虑，要求求出大正方形（阴影部分）的面积，但小正方形也是阴影出现，究竟求那一个图形的面积？根据编者的意图肯定是求大的正方形（阴影部分）的面积，要是把题目及图形改变一下，同学们就一目了然。

如 如图3根据图中的数据用不同的方法求出图中阴影部分的面积。

一种方法是直接表示阴影部分（正方形）的面积为（a-b）2；另一种是用边长为a的大正方形的面积减去一个边长为b的小正方形的面积和两个矩形的面积为a2-（a-b）b-（a-b）b-b2化简得a2-2ab+b2即得到了完全平方差公式（a-b）2 =a2-2ab+b2即两数的差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍。

这两个思考的题目及图形都没有说清楚，各个图形所求的面积有所不同（阴影部分的区分），这就给我们教师提出了更高的要求，促使教师去钻研教材，寻求切实有效的解决方法；有效激发学生数学潜能，也就是在平常的教学中，我们教师要善于思考，注重挖掘题目中潜在的价值，引导学生敢干探索、勇于探索、锐意进取的学习精神，不断提高学生的探究能力和创新能力。

"理解中学数学教材编写的意图"这件事应该是不难办的！因为这教材还一定会是具有学材功能的，而且学材这个功能是不必疑的首要功能。……教师有责任在教学生掌握知识的同时，还要让学生明白，只有进一步的学习才能更深刻的认识这一知识。另外，将学生的状况搞清楚，实行因材施教，之后的事就容易了，因为上好数学课的前提都具备了，下面就是努力教书了。