三角代数上广义双导子的等价刻画

刘莉君

(陕西理工学院数学与计算科学学院, 汉中 723000)



三角代数上广义双导子的等价刻画

刘莉君*

(陕西理工学院数学与计算科学学院, 汉中 723000)

摘要：设U=Tri(A,M,B)是三角代数, 双线性映射φ是U上的广义双导子.利用算子论的方法，给出了三角代数上关于广义双导子的定义，推导出三角代数上广义双导子的一系列相关性质；根据三角代数的矩阵结构，得到了三角代数上广义双导子的一种新的等价刻画，从而推广了关于三角代数上广义双导子的结果.

关键词：三角代数; 双导子; 广义双导子

1引言和定义

下面先给出本文将用到的几个定义.

设A,B是交换环上的具有单位元的代数,M既是左A-模又是右B-模(此时, 称M是(A,B)-双边模).

定义1[8]如果

则称M是(A,B)-忠实双边模.

容易看出其满足矩阵加法、数乘与乘法运算, 故Tri(A,M,B)为一个代数,称为三角代数.

定义2[2]881设是可交换环上的一个代数,()为其中心.设φ:→是个映射.若对任意的α,β及x,y,有φ(αx+βy)-αφ(x)-βφ(y)(),则称φ为上的模中心线性映射(简称模线性映射).

2主要结果

引理1[1]764设是环上的一个有单位元的代数,若映射φ:→是一个广义导子,则存在 T,S,使得φ(X)=TX+XS成立.

引理2[3]1588设U=Tri(A,M,B)为三角代数,(U)为其中心,若双线性映射θ是三角代数U上的一个双导子,则存在(U),使得θ(x,y)=[x,y](∀x,y),其中[x,y]=xy-yx.

证明不妨设f(x,y)=φ1(y)x+xφ2(y)-φ3(x)y-yφ4(x)=0,则x[u,φ2(yu)-φ2(y)u]-y[u,φ4(xu)-φ4(x)u]=

x[uφ2(yu)-uφ2(y)u-φ2(yu)u+φ2(y)u2]-

y[uφ4(xu)-uφ4(x)u-φ4(xu)u+φ4(x)u2]=

(xφ2(y)-yφ4(x))u2-(xuφ2(y)+xφ2(yu)-

yuφ4(x)-yφ4(xu))u+xuφ2(yu)-yuφ4(xu)=

(φ1(y)x+xφ2(y)-φ3(x)y-yφ4(x))u2-

(φ1(y)xu-φ3(x)yu+xuφ2(y)+xφ2(yu)-

yuφ4(x)-yφ4(xu)+φ1(yu)x-φ3(xu)y)u+

(φ1(yu)xu+xuφ2(yu)-φ3(xu)yu-yuφ4(xu))=

f(x,y)u2-[f(xu,y)+f(x,yu)]u+f(xu,yu)=0.

引理4设U=Tri(A,M,B)为三角代数,(U)为其中心,映射φ是U上的一个模线性映射.如果[u,φ(yu)-φ(y)u]=0(∀u,yU),则存在A(U)和映射ξ:U→,使得φ(u)=Au+ξ(u).

δ(αu+βv)-αδ(u)-βδ(v)=φ(αu+βv)-

φ(I)(αu+βv)-α(φ(u)-φ(I)u)-β(φ(v)-

φ(I)v)=φ(αu+βv)-αφ(u)-βφ(v).

可见，映射δ也是一个模线性映射.另一方面,用u+v代替u代入[δ(u),u]=0中,就有[δ(u+v),u+v]=0,即[δ(u),v]=[u,δ(v)].从而二元线性映射θ:(u,v)→[δ(u),v]是一个双导子,即θ(u,v)=[δ(u),v],再根据引理2知θ(u,v)=[u,v]，则θ(u,v)=[δ(u),v]=[u,v],即[δ(u)-u,v]=0.故存在映射ξ:U→，使得ξ(u)=δ(u)-u,又因为δ(u)=φ(u)-φ(I)u,从而φ(u)=(I+φ(I))u+ξ(u),其中令A=I+φ(I)(U).综上有φ(u)=Au+ξ(u).证毕.

φ1(x)=xB-ξ1(x),φ2(x)=Ax+ξ1(x),

φ3(x)=xA-ξ2(x),φ4(x)=Bx+ξ2(x).

(1)

不妨设

(2)

将式(2)代入式(1),可得

xδ1(y)-yδ2(x)=0.

(3)

δ1(y)=yδ2(I),δ2(x)=xδ1(I).

(4)

zyδ2(x)-yδ2(zx)=0.

(5)

将式(4)代入式(5),可得[y,z]xδ1(I)=0,因为由假设知[y,z]x≠0,故 δ1(I)=0.综上可知：δ2(x)=xδ1(I)=0.同理可得：δ1(y)=0.从而由式(2)可得

(6)

因此由引理4有

φ2(x)=Ax+ξ1(x), φ4(x)=Bx+ξ2(x).

(7)

另一方面,再将式(7)代入等式φ1(y)x+xφ2(y)-φ3(x)y-yφ4(x)=0,可得

(φ3(x)-xA+ξ2(x))y+(-φ1(y)+yB-ξ1(y))x=0.

1(x)y+2(y)x=0.

(8)

在式(8)中分别令x=I及y=I,可得

2(y)=-1(I)y,1(x)=-2(I)x.

(9)

2(y)xz-2(yz)x=0.

(10)

1(x)=φ3(x)-xA+ξ2(x)=0,

2(y)=-φ1(y)+yB-ξ1(y)=0,

即

φ1(x)=xB-ξ1(x),φ3(x)=xA-ξ2(x).

(11)

综上由式(7)和式(11)可知,结论成立.证毕.

定理1设U=Tri(A,M,B)为三角代数,(U)为其中心,若二元线性映射φ是三角代数U上的一个广义双导子, 则存在 A,B(U),使得φ(x,y)=xAy+yBx(∀x,yU).

(12)

φ(x,αu+βv)=φ1(αu+βv)x+xφ2(αu+βv),

(13)

φ(x,αu+βv)=φ(x,αu)+φ(x,βv)=

αφ(x,u)+βφ(x,v)=

(αφ1(u)+βφ1(v))x+x(αφ2(u)+βφ2(v)).

(14)

结合式(13)和式(14)可得

φ1(αu+βv)x+xφ2(αu+βv)=

(αφ1(u)+βφ1(v))x+x(αφ2(u)+βφ2(v)),整理得

[φ1(αu+βv)-αφ1(u)-βφ1(v)]x+

x[φ2(αu+βv)-αφ2(u)-βφ2(v)]=0.

(15)

特别地,令x=I,有

[φ1(αu+βv)-αφ1(u)-βφ1(v)]+

[φ2(αu+βv)-αφ2(u)-βφ2(v)]=0，

即

φ1(αu+βv)-αφ1(u)-βφ1(v)=

-[φ2(αu+βv)-αφ2(u)-βφ2(v)].

(16)

从而由定义2知,映射φ1,φ2:U→U都是模线性映射.

φ(x,y)=φ3(x)y+yφ4(x).

(17)

类似于上述证明,同理可证:映射φ3,φ4:U→U都是模线性映射.从而,映射φ1,φ2,φ3,φ4都是三角代数U上的模线性映射.

(18)

将式(18)代入式(17),可得

φ(x,y)=φ3(x)y+yφ4(x)=

(xA-ξ2(x))y+y(Bx+ξ2(x))=xAy+yBx.

证毕.结论成立.

参考文献：

[1]BREARM.Ongeneralizedbiderivationsandrelatedmaps[J].Algebra, 1995, 172(3): 764-786.

[2]余维燕,张建华. 三角代数上的一类非线性可交换映射[J]. 吉林大学学报(理学版), 2014, 52(5): 881-887.

YUWY,ZHANGJH.Aclassofnonliearcommutingmapsontriangularalgebras[J].JournalofJilinUniversity(ScienceEdition), 2014, 52(5): 881-887.

[3]DOMINIKB.Biderivationsoftriangularalgebras[J].LinearAlgebraandItsApplications, 2009, 431(9): 1587-1602.

[4]刘莉君.Banach代数上的高阶Jordan-triple导子系的广义Hyers-Ulam-Rassias稳定性[J].纯粹数学与应用数学, 2011, 27(5): 643-649.

LIULJ.ThegeneralizedHyers-Ulam-RassiasstabilityofJordan-triplederivationsystemsofordernonBanachalgebra[J].PureandAppliedMathematics,2011,27(5): 643-649.

[5]ZHANGJH,FENGS,LIHX,etal.Generalizedbiderivationsofnestalgebras[J].LinearAlgebraandItsApplications, 2006, 418(1): 225-233.

[6]MOHAMMADA.Ongeneralized(σ,)-biderivationsinrings[J].Asian-EuropeanJournalofmathematics, 2011, 4(3): 389-402.

[7]REHMANN.OnLieidealsandgeneralizedJordanleftderivationsofprimerings[J].UkrainianMathematicsJournal, 2014, 65(8): 1118-1125.

[8]CHEUNGWS.Commutingmapsoftriangularalgebras[J].JournaloftheLondonMathematicalSociety, 2001, 63(1): 117.

【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

The Equivalence of Generalized Biderivation of Triangular Algebra

LIULijun*

(SchoolofMathematicsandComputerScience,ShaanxiUniversityofTeachnology,Hanzhong723000,China)

Abstract：LetU=Tri(A,M,B)beatriangularalgebra.Abilinearmapφiscalledageneralizedbiderivationifitisageneralizedderivationwithrepecttobotharguments.Byusingofoperatortheorymethods,thedefinitionsofgeneralizedbiderivationaregave.Onthisbasis,therationalcharacterizationsofeverygeneralizedbiderivationontriangularalgebraarealsodiscussed.Accondingtothematrixstructureoftriangularalgebra,anewformofgeneralizedbiderivationisobtained,andsomeresultsofgeneralizedbiderivationintherelatedreferencesaregeneralized.

Keywords：triangularalgebra;biderivation;generalizedbiderivation

收稿日期：2015-05-18《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n

基金项目：陕西省教育厅自然科学研究计划项目(2013Jk0571)

*通讯作者:刘莉君,讲师,Email:lljgsjys@163.com.

中图分类号：O177.1

文献标志码：A

文章编号:1000-5463(2016)01-0123-03