四元Heisenberg群上的链和R-圆及其性质

施云

（浙江大学数学科学学院，浙江杭州310027）



四元Heisenberg群上的链和R-圆及其性质

施云

（浙江大学数学科学学院，浙江杭州310027）

定义了四元双曲空间上的链和R-圆，并给出了链在垂直投影下的性质.证明了经过Heisenberg群上固定两点的链的唯一性，R-球的qc-水平性，并给出了R-圆与纯虚R-圆之间的关系.

四元双曲空间；四元Heisenberg群；链；R-圆

§1　引　言

近年来，四元切触几何有许多深入系统的研究和应用，参见［1-11］等.四元切触几何是多复变中CR几何的四元对应物.四元Heisenberg群和四元双曲空间是研究四元切触几何的最简单的模型.［9］中介绍了复双曲空间HnC的球模型和Siegel域模型，并给出了HnC上的链和R-圆的定义及其性质.在［12］中，Jacobowitz给出了链和R-圆的等价定义并用其他方法得出了类似的性质.本文介绍了四元双曲空间，四元Heisenberg群，Siegel域，并对四元Heisenberg群上的链和R-圆进行了一些研究. Cartan证明了与Von Staudt定理相类似的链保持定理（参见［9］p.136），在复的情况下，R-圆被应用于PU（n，1）的离散子群的研究（参见［9］p.149）.我们期望四元情况下也有类似的链保持定理，R-圆也能被应用于PSp（n，1）的离散子群的研究.

§2回顾了四元双曲空间的基本定义，Heisenberg群H上的自同态（参见［13］p.81）以及四元Heisenberg群与Siegel域之间的关系（参见［6］p.145）.§3引入了四元双曲空间上的链的定义，给出了有限链和垂直链在垂直投影下与Hn-1的关系，证明了经过Heisenberg群上两点的链的存在唯一性以及经过Heisenberg群上一点与垂直切空间上一点相切的链的存在唯一性.§4引入了四元双曲空间下的R-球和R-圆，定义了纯虚R-圆，证明了任何R-球均是qc-水平的子流形以及任何一个R-圆可以看成是由纯虚R-圆在Heisenberg作用下变换而得.

§2　预备知识

四元切触流形（M，g，Q）是由一个（4n - 1）-维流形（n≥2）M和一个余维数为三的分布H构成的，局部的，H可以表示成一个R3-值的1-形式Θ=（θ1，θ2，θ3）的核，称H为水平空间，g是其上的度量.进一步地，H有Sp（n）Sp（1）-结构，即其上配有秩为3的丛:

其中殆复结构I1，I2，I3是H上的自同态，局部的，满足四元交换律:

它们与度量Hermitian相容:

且对于任意的X，Y∈H，s = 1，2，3满足相容条件

记I :=（I1，I2，I3）.

四元Heisenberg群H = Hn-1⊕R3上有乘法

其中，x =（x1，···，xn-1），y =（y1，···，yn-1），t =（t1，t2，t3），s =（s1，s2，s3），x¯y = x1¯y1+···+ xn-1¯yn-1，且它的原点是e =（0，0）.对于任意的ξ=（x，t），定义它的模为

H上有如下自同态（参见［13］p.81）:

（1）胀缩:

（2）左平移:

（3）旋转:

其中

（4）反射:

（5）Sp（1）的作用:

其中在第一个因子上的作用是左乘σ∈H且|σ| = 1，在第二个因子上的作用与SO（3）同构.

（6）共轭:

把（4）-（9）式中若干映射的复合称为Heisenberg作用.

令（M，g，Q）为一个四元流形，称它的一个k-维子流形S∈M为水平的，当且仅当它处处切于H，即对于任意的s∈S，它的切空间TsS∈Hs.

四元Heisenberg群H的乘法写成实变量的形式可以表示成

其中s = 1，2，3，y =（y1，y2，···，y4n-4），y′=（y′1，y′2，···，y′4n-4）∈R4n-4，t =（t1，t2，t3），t′= （t′1，t′2，t′3）∈R3（参见［8］（2.15））.四元Heisnberg群H上的左不变向量场可以表示成

l = 0，···，n - 2，j = 1，···，4（参见［8］（2.17））.

四元Heisenberg群的水平子空间HH:= span｛Y1，···，Y4n-4｝.

令Hn，1为一个（n + 1）-维四元线性空间，它包含

其中q′=（q1，···，qn）∈Hn，qn+1∈H.在Hn，1上定义内积

n-维四元射影空间P（Hn+1）是Hn+1中左四元直线的集合.精确的

其中～是等价关系:如果（p′1，···，p′n+1）～（q′1，···，q′n+1）∈Hn+1，则存在非零四元数λ使得

称向量Q∈Hn，1为负（零，正），当且仅当＜0（ = 0，＞0）.直线l∈Hn，1称为负（零，正），当且仅当l由负（零，正）向量组成. P（Hn，1）的包含Hn，1中的负直线的子集称为n维四元双曲空间，记为HnH.

P（Hn+1）在Sp（n，1）的诱导作用下，存在三个不变子空间

作为Sp（n，1）的齐性空间，D-等价于四元双曲空间HnH. HnH中的点的稳定子是Sp（n，1）的最大紧子群，记为Sp（n）×Sp（1）（参见［14］p.524）. Sp（n，1）是保持<·，·>的（n + 1）×（n + 1）四元数矩阵. 在Hn上定义内积

Sp（n）保持≪·，·≫不变.

取q∈∂HnH，与其相应的零线由零向量Q∈Hn，1生成.存在唯一的与∂H相切于q的H-超平面H（q），与之相应的线性超平面是）上与H（q）互补且包含的仿射片是一个无界区域.可以把嵌入映射表示为，令Q为向量

对应于球模型的南极，其中0′=（0，···，0）∈Hn-1，因此H（˜p∞）由所有

表示的点组成，其中q =（q1，···，qn-1）.

映射

是所需的仿射嵌入.

（1）球模型

可以把HnH和单位球

通过如下映射等同起来.令

为把Hn嵌入到P（Hn，1）的映射（在齐性坐标下qn+1/= 0）.由于当qn+1= 0时，Hn，1中的向量是正的，故有HnH⊂A（Hn），且A把B4n和HnH，以及∂B4n= S4n-1⊂Hn和∂HnH等同起来.

（2）Siegel域模型

四元双曲空间HnH还可以等同于一个无界域，即Siegel域

通过Cayley变换:

等同起来（参见［6］p.145）.

反射ι把原点映到∞，如果Dδ是原点处的一个涨缩，那么

令E为四元向量空间.如果数量乘法只考虑R∈H，则存在实向量空间ER，称为E下的实向量空间.定义ER上的关于I1，I2，I3不变，非退化的双线性形式

子空间S⊂ER称为全实的当且仅当S，I1S，I2S，I3S在（（，））下垂直.

流形M的一个子流形N称为在x处是全测地的，如果对于任意的X∈TxN，M上由x和X定义的测地线也是N上的测地线.如果对于N上的所有点N都是全测地的，则称N为M的全测地子流形.如果N⊂M既是全实的又是M的全测地子流形，则称N为全实全测地子流形.

§3　链

四元Heisenberg群上的链起到的作用与Riemann几何上测地线起到的作用类似.与复的情况相类似，对于任意的x∈B4n，存在g∈Sp（n，1）把x映射到球心e，令F′⊂TeBn为过球心的一个k-维四元线性子空间，存在唯一的一个过球心且与F′相切的全测地子流形.记g（F′）= F.由于g是等距的，通过g-1可得唯一的包含x且与F相切的全测地子流形.把这种子流形叫作Hk-平面.把H1-平面叫作四元测地线. Hk-平面和∂HnH的交是的一个光滑嵌入，称为Hk-链.把H1-链就叫作链.

类似的，四元超平面和HnH的交是一个全测地四元超曲面，称为在HnH上的四元超平面，它的边界是光滑嵌入∂HnH中的（4n - 1）-维球，称为超链.

若（x，t）∈H，则把x = 0叫作垂直轴，记为V.经过∞的链可以表示成垂直投影

的纤维.把这样的链叫作垂直链.不经过∞的链叫作有限链.

如果C是四元线性子空间，那么存在唯一的一个稳定点集是C的反射，记作ιC.比如，保持垂直轴x = 0的反射就是通常的欧几里德反射（x，t）■→（-x，t），表示成对角矩阵

其中In-1是（n - 1）×（n - 1）单位矩阵.

其中反射在HnH的球模型和Siegel模型上分别为

和

令L⊂HnH为一个Hk-平面且它的边界∂L =¯L∩∂HnH是一个Hk-链.那么通过判断∞是否在∂L内，可以分成如下两种情况.如果∞∈∂L，称∂L是垂直的；如果∞/∈∂L，称∂L是有限的. 把L中的反射记为ιL.如果∂L是有限的则ιL（∞）∈H叫做∂L的中心，记为OL.

例3.1取Hk-平面L =｛（0，···，0，ξn-k+1，···，ξn）∈Hn｝，则

为球B4n上的链，通过Cayley变换可以把它变换为Siegel域上的垂直链

特别的，取k = 1，n = 2时，得到链｛（q1，q2）∈H2；Req2= 0｝，投影到H上为｛（0，q2）｝.

例3.2取Hk-平面L =｛（ξ1，···，ξk，0，···，0）∈Hn｝，则

为球B4n上的链，通过Cayley变换可以把它变换为Siegel域上的有限链

通过§2中的映射（16），可以把如上有限链投影为Heisenberg群上的有限链

进一步地，垂直投影ΠV: H→Hn-1可以把∂L投影到Hn-1的一个实（4k - 1）-维球

定理3.1令∂L⊂∂HnH= H∪｛∞｝为一个Hk-链且ΠV: H→Hn-1为垂直投影.那么1.如果∂L是垂直的，则ΠV（∂L -｛p∞｝）是Hn-1的一个（k - 1）-维H-仿射子空间且

p∞是Siegel域Σ中的无穷远点.

2.如果∂L是有限的，则ΠV是∂L到Hn-1的一个实（4k - 1）-维球的一个双射.

3.两个Hk-链的垂直投影之间相差一个垂直变换.

证1.由于p∞∈∂L，ιL在L中是一个保持p∞的变换，因此也保持与∂HnH相切于p∞处的四元超平面H（p∞）.相应地，在Σ的仿射片上，ιL为仿射变换，它的稳定点集L-｛p∞｝是一个四元仿射空间.由于通过p∞的四元直线有界于垂直链，∂L是一些垂直链的集合，因此ΠV（∂L）是（k - 1）-维四元仿射子空间.

2.假设∂L是中心为OL的有限Hk-链.存在唯一的包含L的垂直Hk+1-链L+.由1，ΠV（∂L+）是Hn-1中的一个k-维仿射子空间.把Hn-1由ΠV（∂L+）代替，可以假设k = n - 1.

令τ为把OL映到V上的变换，则τ（L）是中心在V上的一个Hk-链.因此可以假设OL∈V. V是唯一的包含OL和∞的链，且ιL交换OL和∞.因此ιLV = V，即L和V是正交的.因此2成立.

3.证明与2类似.

当n = 2时，由定理3.1可以直接得到如下推论.

推论3.1链在H上的垂直投影为一个点或者一个圆.

推论3.2如果两个链的垂直投影相同，则他们之间只相差一个垂直变换.

如果c∈H是一个有限链，那么把ΠV（c）∈H的半径定义为链c的半径.

定理3.2 1.令p，q∈H，则存在唯一的链经过p，q.

2.令p∈H且ξ∈TpH - Hp是经过p点的切向量，那么存在唯一的链经过p且与ξ相切.

证1.存在唯一的P（Hn，1）中的投射直线经过p，q∈P（Hn，1）.那么它的边界就是所求的链.

2.由于ξ是一个非零的切向量，存在唯一的经过p与ξ相切的投射直线.因为p∈H且ξ/∈Hp，故这条直线不与∂HnH⊂P（Hn，1）相切，那么它与∂HnH的交是所求的链.

令α⊂H2H为四元测地线｛0｝×H1H有界于垂直轴V∈H .记

进一步地，把投影Πα: H2H→α限制在H - V的边界上，这把双曲几何嵌入到Heisenberg几何中，即双曲平面对应于H - V中与V垂直的链.这些链覆盖H - V，且通过

把双曲度量变换到H - V上的度量.

V的稳定子是如下复合的像

嵌入Sp（1，1）■→Sp（2，1）为

其中D∈Sp（1，1）. Sp（1，1）的中心是固定V的反射.在球模型中，正交投影Πα: H2H→α可以表示为Πα（q1，q2）=（0，q2）.

§4　 R-圆

链提供了很多Heisenberg群上的几何对象.另一方面，与链相类似，也可以考虑全实测地子空间的边界.

把Hk-平面定义中的全测地子流形用全实全测地子流形代替，可以得到Rk-平面的定义，即对于任意的x∈B4n，存在g∈Sp（n，1）把x映射到球心e，令F′⊂TeBn为过球心的一个k-维四元线性子空间，存在唯一的一个过球心且与F′相切的全实全测地子流形.记g（F′）= F.由于g是等距的，通过g-1可得唯一的包含x且与F相切的全实全测地子流形.把这种子流形叫作Rk-平面. 把Rk-平面的边界称作Rk-1-球. R1-球叫作R-圆.把HnH中的Rn-球叫作R-形式. Rk-1-球是光滑的实（k - 1）-维流形.

下面给出HHn上的R-球的一些性质（复双曲空间下相应的结论参见［9］§4，另一种研究复双曲空间下R-球的方法参见［12］§9）.定义实球

回顾子流形S⊂∂HnH是qc-水平的定义，有

定理4.1 P∈HnH是一个Rk-平面，那么R-球∂P⊂∂HnH是qc-水平的子流形.

证令p∈∂P，标准的qc-水平空间可以定义为

只需要证明

通过适当的坐标变换，可以假设P = BkR×｛0n-k｝=（x1，···，xk，0，···，0），其中xj∈R且p =（1，0，···，0）.那么Tp（∂H）= ImH×Hn-1，IkTp（∂HnH）= ImH×Hn-1，k = 1，2，3且Tp（∂P）=｛0｝×Rk-1×｛0｝，则

同理可证，I2Tp（∂P）⊂ImH×Hn-1和I3Tp（∂P）⊂ImH×Hn-1.命题成立.

与链类似，Heisenberg几何中的R-球分为有限R-球和无限R-球两种.如果R-球S包含∞则称S是无限R-球，如果不包含∞则称S是有限R-球.

例4.1取Rk-平面L =｛（0，···，0，xn-k+1，···，xn）∈Rn｝，则

为实球B4nR上的R-球，通过Cayley变换可以把它变换为Siegel域上的垂直R-球

这是一个抛物面.

例4.2取Rk-平面L =｛（x1，···，xk，0，···，0）∈Rn｝，则S =¯L∩∂BnR=（x1，···，xk，0，···，0）∈Rn；x21+···+ x2k= 1

为实球BnR上的R-球，通过Cayley变换可以把它变换为Siegel域上的有限R-球

通过§2中的映射（16），可以把如上有限R-球投影为Heisenberg群上的有限R-球

性质4.1令S⊂M为四元切触流形（M4n-1，g，Q）的一个水平子流形，那么有dimS＜n.

证对于任意的s∈S，把dΘ限制到Hs上是一种反对称结构. Xs，Ys是切向量，把他们延拓为S上的光滑向量场，在这种结构下TsS∈Hs是迷向的.那么，因为Xs，Ys和［X，Y］（s）∈TsS均属于Hs= Ker（Θ），则

由于TsS是迷向的，所以dimTsS≤14dimHs= n - 1.

例4.3与标准的全实子空间HR2⊂HH2对应的无限R-圆是实轴

任何一个H中的无限R-圆可以从R×｛0｝通过一个Heisenberg等距变换得到.

为了简便起见，本节的余下部分只考虑n = 2的情况，即只考虑实维数为7的Heisenberg群上的R-圆.有限R-圆R的中心由∞在反射ιR下的像定义（无限R-圆的中心定义为∞）.有QB2R⊂B8，k = 1，2，3，其中Q由 §2中的（1）定义.

考虑一个以原点为中心且包含于QB2R⊂B8的R-圆.把这种R-圆叫作纯虚的R-圆，记为RQ.为了简便起见，只考虑以原点为中心，包含于I1B2R的R-圆，记为RI1.把（x，t）写成柱坐标的形式，为（x = a + bi + cj + dk = reˆnθ，t = t1i + t2j + t3k），其中

（参见［15］p.1646）.

（x，t）∈H在Cayley变换下对应于球上的点

因此RI1在柱坐标下可以由如下方程决定:

即:

定理4.2任何一个R-圆可以看成是RQ在Heisenberg作用下的像.

证显然可以通过Heisenberg作用把RQ变换成RI1，因此只需要证明任何一个R-圆可以看成是RI1在Heisenberg作用下的像.考虑有限R-圆R⊂H，它的反射是ιR: H→H .可以通过Heisenberg作用把R的中心ιR（∞）变换到原点0∈H，因此不妨假设R的中心是0.反射ιR不改变包含0和∞=ιR（0）的链，即垂直轴V.把ιR限制到V上是一个反对和，它有两个固定点.由于ιR交换0和∞，如果ιR|V的固定点是（0，±r20i），其中r0＞0.通过Heisenberg涨缩可以假设ιR固定（0，±i）∈V.

ιI1表示反射，由于（0，±i）∈RI1且ιI1（V）= V，则ιR◦ιI1保持V不变，且固定（0，0），（0，±i），∞.因此ιR◦ιI1固定V，令

有:

如果R是一个有限R-圆，存在唯一的Heisenberg变换T使得T（R）的中心是原点.那么存在一个Heisenberg变换

使得T（R）=δ（RI1）.把四元数r2e2ˆnθ定义为R-圆R的半径.显然RI1的半径是1.

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Chain and R-circle on quaternionic Heisenberg group and their properties

SHI Yun
（Department of Mathematics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

This paper defines chain and R-circle on quaternionic hyperbolic space，and gives the property of chains under the vertical projection. The uniqueness of chain passing through two distinct points and qc-horizontality of R-circles are proved，and the relationship between R-circle and pure imaginary R-circle is given.

quaternionic hyperbolic space；quaternionic Heisenberg group；chain；R-circle MR Subject Classification: 53C15；53C56

O184

A

1000-4424（2016）01-0090-11

2015-11-13

2016-01-15

国家自然基金（11171298；11571305）