基于外汇汇率买入的跳扩散过程股票的期权定价

李文汉，刘丽霞，孙红岩

（1.河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024；2.石家庄经济学院数理学院，河北石家庄050031；3.白求恩医务士官学校，河北石家庄050081）



基于外汇汇率买入的跳扩散过程股票的期权定价

李文汉1，2，刘丽霞1∗，孙红岩3

（1.河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024；
2.石家庄经济学院数理学院，河北石家庄050031；
3.白求恩医务士官学校，河北石家庄050081）

在风险中性假设下，通过建立以外币计价的股票价格服从带跳扩散过程的随机微分方程和外币汇率的随机微分方程，考虑到影响外汇汇率的因素和影响股票价格因素的相关性，得到了与之相关联的几种买入的以本币计价的欧式期权定价公式.

跳扩散过程；汇率；鞅定价方法；风险中性

§0　引　言

随着金融市场的不断完善和发展，金融市场上出现了各种各样的期权.文献［1-3］通过对B-S模型的推广，研究了Levy过程等形式期权定价模型；文献［4］中Merton在1976年建立了跳跃扩散模型，其中扩散过程表示股票价格连续波动，跳跃过程表示股票价格不是连续波动.近些年来，仍有一些人在这方面做进一步的研究.国内学者（文献［5-7］）通过构造不同形式的服从跳扩散的股票价格模型，分别研究了交换期权，亚式期权，障碍期权以及欧式期权等，得到了一系列的期权定价公式.

在期权定价的研究中，外汇期权也是其比较重要的一部分.由于国际政治和经济方面等因素对金融市场的冲击，汇率是常数也不合常理.文献［8］通过利用等价鞅测度，研究了欧式外汇期权的定价公式；文献［9］在标的资产价格服从对数正态过程的条件下，通过构造外汇汇率的跳跃扩散模型，研究了与股票相关联的欧式汇率买入期权的定价问题.本文通过建立外币计价的跳跃扩散过程股票价格过程和汇率的价格过程，涉及到影响汇率的因素与影响股票价格的因素是相关的，得到了几种以本国货币计价的股票的买入期权定价公式，推广了跳跃扩散过程股票的买入期权定价公式.

§1　模型假设

假设St表示t时刻以外币计价的外国股票，满足随机微分方程如下:

其中，µs为股票的漂移率常数，σs为股票的波动率常数，W1（t）（0≤t≤T）是概率空间（Ω，F，P）上的标准Brown运动，Nt（0≤t≤T）表示股票价格在［0，t］内随机跳跃次数，且服从强度为参数λ的泊松分布，V表示股票每次跳跃的高度，是随机变量，且V＞-1，a.s.假设V1，V2，···，VNt相互独立且与V同分布的随机变量，表示在随机时间t1，t2，···，tNt时刻的跳跃高度.

考虑如下的汇率，假设Ft表示t时刻以国内货币计价的一单位外币（t时刻即期汇率），满足随机微分方程如下:

其中，µf为汇率的漂移率常数，σf为汇率的波动率常数，W2（t）（0≤t≤T）是概率空间（Ω，F，P）上的标准Brown运动，且满足

这里，假设国内和国外无风险利率常数为rd为rf.

在国内风险的中性世界里，以外币计价的外国股票标的资产St和即期汇率Ft的变动过程可以表示为（文献［10］）

其中，B1（t），B2（t）为与测度P等价的国内风险中性测度Q下的标准Brown运动，且也满足

Cov（dB1（t），dB2（t））=ρdt（|ρ|≤1）.

除去漂移率发生变化外，其余的参数并没有改变.由Doleans-Dade指数公式，可以得到（4）和（5）式的解为:

为了运算方便，本文假设在国内风险的中性世界里，Vi（i = 1，···，Nt）与B1（t），B2（t）均独立，且满足

§2　定义和引理

金融市场中，涉及到计价过程，常用一种无风险银行账户B（t）来表示计价单位（Numeraire），其价格过程满足

其中rd为严格正的短期利率且为Ft可测过程.

在滤波可测空间（Ω，F，（Ft））（0≤t≤T）中，取定国内风险中性概率测度Q，对任意资产价格M（t），贴现过程均为Q-鞅.

定义1令N（t）是一个无红利支付，严格正资产价格过程，定义以N（t）作为计价单位的概率测度QN，使对于∀t∈［0，T］，在Ft上的Radon-Nikodym导数为

显然EQ［L（T）|Ft］= L（t）.下面给出很重要的一个引理.

引理1［10］在滤波空间（Ω，F，（Ft））（0≤t≤T）中，Y是未定权益（Contingent claim），对于不同的计价单位B（t）和N（t）及分别对应的概率测度组成可测对（Numeraire measure pair）为（B（t），Q）和（N（t），QN），满足

证由贝叶斯公式和式（8）

因此结论得证.

若把股票的价格过程S（t）作为计价单位，并且给出相应的概率测度QS，得到了以下的推论.

推论在滤波空间（Ω，F，（Ft））（0≤t≤T）中，Y是未定权益（Contingent claim），对于不同的计价单位可测对（B（t），Q）和（S（t），QS），满足

引理2［11］若V服从对数正态分布，ln V的标准差为ω，则

其中

Φ（.）为标准正态分布的累计分布函数.

§3　外汇期权定价

（1）C1（T）=（STFT- K1）+形式的期权定价

考虑到与股票相关的汇率买入期权，其在到期T时刻的收益为

其中K1为在T时刻国内货币计价的执行价，且资本市场满足Black-Scholes模型的其他假设.由（6）和（7）式得

B（t）为Q上的标准Brown运动.于是（12）式变为

设τ= T - t，由泊松分布和布朗运动的平稳独立性，则

令

由布朗运动的定义和正态分布的性质以及ln（1 + V）～N（µ，σ2V），得

其中Z1，Z2独立同分布N（0，1）. 令

因此给出下面定理.

定理1设以外币计价的外国股票价格过程St和外汇汇率过程Ft分别满足（4）式和（5）式，则到期日为T，执行价格为K国内货币计价的欧式看涨期权在时刻t的价格为:

其中

证由（11）式

由（14）-（18）式，全期望公式和引理2即得定理结论.

因此得到定理的另一种形式.

定理1∗设以外币计价的外国股票价格过程St和外汇汇率过程Ft分别满足（4）式和（5）式，则到期日为T，执行价格为K的国内货币计价的欧式看涨期权在时刻t的价格为:

其中

在国内风险的中性世界里，以外币计价的外国股票价格过程St和外汇汇率过程Ft分别满足（4）式和（5）式，且（14）式成立，即

假设存在国内股票的价格为S∗t，其在国内风险中性世界里的计价过程为

W（t）为国内风险中性测度Q下的标准Brown运动，与Vi（i = 1，···，Nτ）均独立，且满足

令

则

由Girsanov定理可知

为Q∗上的标准Brown运动.因此

令

于是

由Doleans-Dade指数公式和随机过程的平稳独立性，可以得到:

令

因此给出下面定理.

定理2设以外币计价的外国股票价格过程St和外汇汇率过程Ft在国内风险中性世界里分别满足（4）式和（5）式，则到期日为T，未定权益为（STFT- S∗T）+的交换期权在时刻t的价格为:

其中

证由推论中的（9）式得

由（28）-（29）式和引理2即得定理结论.

因此得到定理的另一种形式.

定理2∗设以外币计价的外国股票价格过程St和外汇汇率过程Ft在国内风险中性世界里分别满足（4）式和（5）式，则到期日为T，未定权益为（STFT- S∗T，0）+的交换期权在时刻t的价格为:

其中

（3）C3（T）= ST（FT- K2）+的外汇期权定价

在国内风险的中性世界里，以外币计价的外国股票价格过程St和外汇汇率过程Ft分别满足（4）式和（5）式，由Doleans-Dade指数公式，泊松过程与布朗运动的平稳独立性以及布朗运动的定义，得到:

这里τ= T - t，Zi～N（0，1）（i = 1，2），且Cov（Z1，Z2）=ρ，则（Z1，Z2）的密度函数为

由鞅定价理论知识，期权在t时刻的价格为:

为了计算方便，令E1= E［STFTI（FT＞K）|Ft］，E2= EQ［K2STI（FT＞K）|Ft］，则

（1）首先计算E1

由（31）和（32）式，

由（32），（33），（35）和（36）式计算得

（2）用类似的方法计算E2.

综上所述，给出以下定理.

定理3设以外币计价的外国股票价格过程St和外汇汇率过程Ft在国内风险中性世界里分别满足（4）式和（5）式，则到期日为T的外汇期权C3（T）= ST（FT- K2）+在时刻t的价格为:

其中

［1］Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by Levy process［J］. Ann Appl Prob，1999，9（2）: 504-528.

［2］Knut K. Contingent claims valuation when the security price is combination of Ito process and a random point process［J］. Stoch Proc Appl，1998，28（2）: 185-220.

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［5］钱晓松.跳扩散模型中的测度变换与期权定价［J］.应用概率统计，2004，20（1）: 91-99.

［6］许永庆，李时银.跳跃扩散型重设卖出期权的定价公式［J］.厦门大学学报，2005，44（1）: 20-23.

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［10］Yue K K. Mathematical Models of Financial Deribatives（Second Edition）［M］.北京:世界图书出版公司，2011.

［11］约翰赫尔著，王勇，索吾林译.期权、期货及其他衍生产品［M］.北京:机械工业出版社，2009.

［12］Steven著，陈启宏，陈迪华译.金融随机分析（第二卷）［M］.上海:上海财经大学出版社，2008.

MR Subject Classification: 91B24；60H05

The call option pricing for the stocks with jump-diffusion process based on foreign exchange rate

LI Wen-han1，2，LIU Li-xia1∗，SUN Hong-yan3
（1. College of Mathematics and Information Science，Hebei Normal University，Shijiazhuang 050024，China；2. College of Mathematics and Physics，Shijiazhuang University of Economics，Shijiazhuang 050031，China；3. Department of Basic，Bethune Military Medical College，Shijiazhuang 050081，China）

Several European options pricing of domestic currency，with the stochastic differential equations of the stock price of foreign currency which is jump-diffusion process and of the foreign exchange，are obtained by martingale pricing method. Under the risk-neutral hypothesis，the factors affecting the foreign exchange rate and the price of the stocks are correlative.

jump-diffusion process；foreign exchange；martingale pricing method；risk-neutral

O211.6

A

1000-4424（2016）01-0021-09

2015-01-08

2016-01-02

刘丽霞，教授，Email：chinaliulx@163.com

国家自然科学基金（71201110；11501164）；河北省研究生创新资助项目