指数和Weibull串联系统环境因子的统计推断

周君兴，俞列红，王炳兴*

（1.浙江财经大学数学与统计学院，浙江杭州310018；2.浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州310018）



指数和Weibull串联系统环境因子的统计推断

周君兴1，俞列红2，王炳兴*2

（1.浙江财经大学数学与统计学院，浙江杭州310018；
2.浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州310018）

给出了Weibull串联系统环境因子的定义，且研究了元件寿命服从指数分布和Weibull分布时串联系统环境因子的点估计和区间估计，并利用模拟方法研究了所给点估计的精度和广义置信区间的覆盖率.模拟结果表明所给方法是令人满意的.

串联系统；环境因子；指数分布；Weibull分布；广义区间估计

§1　引　言

在可靠性评估中经常会遇到不同环境下的寿命试验数据，为节约试验时间和试验成本以及增加统计分析的精度，实际应用中需要综合不同环境下的寿命试验数据，而这涉及到不同环境之间寿命数据的转化和折算问题.在可靠性统计中，把一个环境下的寿命数据等效折算为另一环境下的寿命数据的因子称为环境因子.从这个意义上可以说环境因子是一种折算因子.

早在1965年，钱学森教授就提出了天地折合问题，即产品的地面信息与飞行实验信息如何折算即综合的问题，显然其中包括了环境因子问题（［1］）.已有许多文献对环境因子的定义及其值的确定进行了大量的研究.文献［2］讨论了环境因子的定义及其统计推断，给出了几个常见分布环境因子的点估计和区间估计.文献［3］讨论了利用经验Bayes估计Rayleigh分布的环境因子的值.文献［4］也通过Bayes方法来估计两参数Weibull分布环境因子.文献［5］导出了基于定数截尾样本Weibull分布环境因子的近似无偏估计和近似置信区间，并用模拟方法研究了所给的近似无偏估计和近似区间估计的精度.文献［6］利用广义置信区间方法得到了Weibull分布尺度参数比（即Weibull寿命分布的环境因子）基于完全样本的广义置信区间.文献［7］提出了服从单参数指数分布的两个独立产品的平均寿命比率（即指数分布的环境因子）的两个估计量并研究了它们的均值、方差、方差的估计等问题.文献［8-10］给出了环境因子在可靠性数据分析中的一些应用.

但是现有文献对串联系统的环境因子的讨论很少.文献［1］分析了指数型串联系统环境因子的近似限.在本文中，根据环境因子的折算原理得到了Weibull分布串联系统的环境因子.导出了基于定数逐次截尾样本指数串联系统和Weibull串联系统环境因子的点估计和广义置信区间，并利用模拟方法研究了所给的点估计和广义置信区间的有限样本性质.

§2　Weibull串联系统环境因子的定义

设系统有m个相互独立的不同元件串联而成.假设在环境i（i = 1，2）下第j个元件的寿命Xi，j服从Weibull分布，其分布函数为

注意到在环境i下这个串联系统的寿命为

所以Xi也服从Weibull分布，其分布函数为

设环境1下系统工作x1单位时间相当于环境2下系统工作x2单位时间，则由文献［2］知，系统的环境因子由下面式子确定:

由（1）式得

式中

（3）式即为Weibull串联系统环境因子的计算公式.利用这个因子和（2）式可以把环境1下寿命试验数据折算成环境2下的寿命试验数据，其中x1是环境1下真实的寿命试验数据，x2是环境2下折算得到寿命数据.特别地，当β= 1时由（3）式得到指数分布串联系统的环境因子为

由（4）式知其和文献［1］的定义相同.

§3　定数逐次截尾寿命试验

定数逐次截尾寿命试验是常见定数截尾寿命试验的一般化，它允许在每一个失效时刻从尚未失效产品中随机选取部分产品退出寿命试验.这种寿命试验的优点是既能从已失效产品了解产品的失效信息，也能从退出试验的产品中了解产品在试验过程中的退化信息，后者有时对改进产品的质量是极其重要的.假定在环境i下第j个元件有ni，j个产品进行定数逐次截尾寿命试验，当观察到第一个失效时刻Xi，j，1时，从尚未失效的ni，j- 1个产品中随机地选取Ri，j，1个退出试验，留下ni，j-Ri，j，1-1个产品继续试验；如此进行下去，直到观察到第ri，j个产品失效时刻Xi，j，ri，j时停止试验，此时尚未失效产品全部退出试验.记ri，j个观察到的失效时间为

其中Ri，j，k，ri，j，ni，j是预先确定的非负整数，此时有

称这种寿命试验为定数逐次截尾寿命试验，观察到的样本为定数逐次截尾样本.特别地，当Ri，j，1= ... = Ri，j，ri，j-1= 0时Ri，j，ri，j= ni，j- ri，j，此时对应的样本即为常见的定数截尾样本.

§4　指数串联系统环境因子的参数估计

设Xi，j，1，Xi，j，2，···，Xi，j，ri，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m是在环境i下串联系统的第j个元件的服从指数分布时的定数逐次截尾样本，Ri，j，1，Ri，j，2，···，Ri，j，ri，j是试验中相应退出试验的元件数.记在环境i下系统的第j个元件的总试验时间为（Ri，j，k+ 1）Xi，j，k.易见，在定数截尾样本下，系统的第j个元件在环境i下的总试验时间为

4.1点估计

为得到相关结果，需要下面引理.引理的证明类似于文献［7］的定理的证明.

引理设T1，T2，···，Tr是来自均值为1/λ的指数分布的样本容量为n的定数逐次截尾样本.记，则（1）S是充分统计量；（2）ˆλ=（r - 1）/S是λ的一致最小方差无偏估计；（3）2λS～χ2（2r）.

由引理可知，ˆλi，j=（ri，j- 1）/Si，j是参数λi，j的一致最小方差无偏估计，且2λi，jSi，j～χ2（2ri，j）.从而KE的一个估计为，其中n =

注意到ˆλi，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m之间是相互独立的，所以

因为ˆλ2，j，j = 1，2，···，m之间是相互独立的，且2λ2，j（r2，j- 1）/ˆλ2，j～χ2（2r2，j），所以

式中fj（x）是χ2（2r2，j）的密度函数.注意到上式是参数λ2，1，···，λ2，m函数，记

则从（6）式可得KE的另一个估计为

当m较大时，利用上述积分方法计算g（λ2，1，···，λ2，m）是很麻烦的.令Ui，j= 2λi，jSi，j.注意到

及Ui，j～χ2（2ri，j），所以g（ˆλ2，1，···，ˆλ2，m）可以用Monte Carlo方法得到.具体为

（1）对给定的ˆλ2，1，···，ˆλ2，m，计算mj=1ˆλ2，j；

（2）产生m个随机数U2，j～χ2（2r2，j），j = 1，...，m，计算

（3）重复步骤2，10000次或更多，计算其平均值，记作g1.则g（ˆλ2，1，···，ˆλ2，m）可以用

估计.

注注意到

所以当r2，j≥3，j = 1，...，m时有

4.2模拟研究

下面利用模拟的方法比较了所给的二个点估计的精度.对点估计ˆKE和˜KE从偏差和均方误差两个方面作了比较.

由于Si，j的分布与样本容量无关，仅与截尾数ri，j和失效率λi，j有关，所以在模拟研究中仅考察截尾数ri，j和失效率λi，j对点估计的影响.

在模拟中取m = 2，λ1，1= 1，（λ1，2，λ2，1，λ2，2）=（0.5，0.1，0.05）.对给定参数和定数逐次截尾试验方案，利用文献［10］提出的方法产生10000组模拟样本，分别计算指数串联系统的环境因子的点估计ˆKE和˜KE的平均偏差和平均均方误差，模拟结果见表1.

表1　指数分布情形点估计的模拟结果

从模拟结果可以发现:˜KE的偏差和均方误差比ˆKE均有不同程度的改进.截尾数越小，改进程度越大.

§5　Weibull串联系统环境因子的参数估计

5.1点估计

设Ti，j，1，Ti，j，2，···，Ti，j，ri，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m是环境i下串联系统的第j个元件服从Weibull分布时的定数逐次截尾样本，Ri，j，1，Ri，j，2，···，Ri，j，ri，j是试验中相应退出试验的元件数.

注意到对数似然函数为

所以参数β的最大似然估计ˆβ是下面方程的解：

而参数λi，j的最大似然估计ˆλi，j为

从而由最大似然估计的不变性得Weibull串联系统的环境因子的最大似然估计为

5.2区间估计

由于环境因子KW的枢轴量不存在，所以也利用广义置信区间估计方法来导得其置信区间.

记

则由文献［12］知

且这些随机变量之间相互独立.

注意到

又由Ui，j= 2λβi，jSi，j，ri，j得λβi，j= 2Si，j，ri，j/Ui，j.利用广义枢轴量的替代方法，得环境因子KW的广义枢轴量为

式中si，j，ri，j=，而t =（ti，j，1，···，ti，j，ri，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m）是T的观察值.

设Wα是广义枢轴量WW的α分位数，则（Wα/2，W1-α/2）是环境因子KW的置信系数为1-α的广义置信区间.由于广义枢轴量WW的精确分布很难得到，所以用模拟方法得到广义枢轴量WW的分位数.模拟步骤如下:

（1）对给定的截尾数ri，j，产生2m个相互独立的随机数Ui，j，其中

（2）对给定的截尾数ri，j，产生随机数W，其中

（3）对观察到的试验数据t和上面产生的随机数Ui，j，W，利用（8）式计算广义枢轴量WW的值；

（4）重复步骤1-3B（≥10000）次，得到B个WW的值；

（5）对得到B个WW的值进行从小到大的排序得: W（1）≤W（2）≤···≤W（B），则W（Bα）是广义枢轴量WW的α分位数的估计值.

5.3模拟研究

下面利用模拟的方法研究了广义置信区间的性质，考察了广义置信限覆盖真值的比例和置信限的平均值.模拟中取m = 2，λ1，1= 1，λ1，2= 0.7，λ2，1= 0.5，λ2，2= 0.4，β= 1，置信系数考察了0.95这种情况.各元件试验的样本容量和定数逐次截尾方案（ri，j，Ri，j，k）相同，模拟计算的步骤如下:

（1）对给定参数，定数逐次截尾方案（ri，j，Ri，j，k），根据文献［13］的方法产生服从Weibull分布的定数逐次截尾样本

（2）利用上小节模拟方法（在模拟中取B = 10000）得到广义枢轴量WW的0.05和0.95分位数，从而得到环境因子KW的置信系数为0.95的广义置信上限和下限；

（3）重复步骤（1）-（2）1000次分别得到1000个环境因子KW的广义置信上、下限；

（4）计算这1000个广义置信上（下）限大（小）于环境因子KW的真值的比例和它们的平均值.这二个比例即为广义置信上、下限覆盖率的估计值.

表2　Weibull分布情形区间估计的模拟结果

模拟结果见表2.模拟结果显示:对所有考察情形广义置信上、下限覆盖真值的比例与名义值相差很小，说明提出广义置信区间有很好的频率解释.广义置信下限随着截尾数增加而增加，而广义置信上限随着截尾数增加而减少，这与预期相符.

§6　结论

在可靠性评定中，环境因子能将不同环境下的实验数据折算到同一环境下，从而能够扩充样本容量，提高产品的可靠性评估.因此，确定环境因子的值是十分重要的.本文导出了指数串联系统的点估计和Weibull串联系统环境因子的点估计和广义置信区间.模拟结果显示，Weibull串联系统环境因子的广义置信区间的覆盖率与置信区间的置信水平很接近，提出的广义置信区间有很好的频率解释.因此本文提出的方法较好解决了这二种系统环境因子的统计推断问题，为其实际应用打下较好的理论基础.

［1］周源泉，翁朝曦.可靠性评定［M］.北京:科学出版社，1990.

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MR Subject Classification: 62N05

Statistical inference for the environment factor under exponential and Weibull series system

ZHOU Jun-xing1，YU Lie-hong2，WANG Bing-xing2
（1. School of Mathematics and Statistics，Zhejiang University of Finance and Economics，Hangzhou 310018，China；2. School of Statistics and Mathematics，Zhejiang Gongshang University，Hangzhou 310018，China）

The definition of the environment factor of Weibull series system is given. The point and interval estimations of the environment factor are derived when the lifetimes of units are exponential or Weibull distributions. The precision of the proposed confidence interval is studied by simulation. The simulation results show that the proposed procedure is satisfactory.

series system；environment factor；exponential distribution；Weibull distribution；generalized interval estimation

O213.2

A

1000-4424（2016）01-0001-08

2015-10-12

2016-01-19

，Email：wangbingxing@163.com

国家自然科学基金（11371322）