『圆的认识』教学实录

◇ 张齐华

『圆的认识』教学实录

◇ 张齐华

编者按：

有人说，张齐华是小学教育界的“数学王子”，华丽、精致、灵动、厚重是他数学课堂最鲜亮的名片。

然而，随着课程改革的不断深化，随着数学教学的不断转型，在他的课堂上，我们开始见证一场“静悄悄的革命”——

曾经的华丽开始渐褪，质朴、干净、纯粹成为他数学课堂的崭新底色；

曾经的精致渐行渐远，开放、研究、对话成为他数学课堂的全新样态；

曾经的灵动依旧坚守，但灵动的背后，多了一份向着学生的关怀、等待与情愫；

曾经的厚重亦有保留，但厚重的不再只是数学历史、数学文化，学生丰厚的学习成果、开放的思维过程、多元的观点碰撞、精彩的课堂生成渐渐成为其课堂的“新常态”……

于是，我们决定和他来一场数学课堂的 “约会”。从2016年第1期开始，本刊开设一个新的栏目——“齐华课堂”。在这场“约会”里，我们希望深度走进他的“数学新课堂”，感受他基于学生的顶层设计、开放自由的师生对话、难以预期的学习进程、丰沛开阔的思维创造，感受他及他的朋友们是如何“欣赏”“笑谈”“解剖”“颠覆”“重构”他的课堂的，并在观念、思想的多元触碰中，透过张齐华老师“一个人的课堂”，去触摸、发现并见证我国新一轮小学数学课程改革的整体脉络及历史走向。

一 提出一个问题

师：今天这节课，我们继续来研究圆。回忆一下，之前我们学习过哪些平面图形？

生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。

（师出示图1）

图1

师：以长方形为例。要确定一个长方形的大小，最少需要几个数据？

生：两个。

生：长方形的长和宽。

师：奇怪，长方形有四条边，为什么只需要两个数据？

生：因为长方形的对边相等，所以只要长和宽就能确定长方形的大小。

师：正方形呢？

生：正方形只需要一个数据，因为它的四条边都相等。

师：看来，图形不同，它们的特点不同，确定它们的大小所需要的数据也不同。那么，今天我们要研究的圆，确定它的大小，最少需要几个数据呢？

师：看得出来，这是一个对大家很有挑战的问题。下面，就请大家拿出学习单，以四人小组为单位，看一看、量一量、比一比、折一折，想办法解决上面的问题。

（学生分组活动，教师收集信息，参与学生的讨论，并给予必要的指导）

二 展开一场探索

师：谁来说一说，通过你们小组的研究，要确定圆的大小，最少需要几个数据？这数据在哪里？

生：我们组通过研究，觉得要确定一个圆的大小，最少需要一个数据，这个数据就是圆的半径。

（该生一边说一边指着自己画的一条半径）

师：对于他的发言，大家怎么看？

生：我有一个问题。你画的线段，在圆里有很多条，为什么你觉得只需要一个数据就能确定圆的大小？

生：这样的线段在圆里有无数条，但它们的长度都相等，所以只需要一个数据就能确定它的大小。

生：就像正方形虽然有四条边，但因为长度相等，所以一个数据就能确定它的大小。

师：说得真好！在刚才的这段对话中，同学们用到了三个非常重要的词语——半径、无数条、都相等。那么，究竟什么才是圆的半径？半径真的有无数条吗？它们的长度真的都相等吗？带着这些问题，我们来继续深入地研究和思考。

（学生再次以小组为单位，或自学教材，或生生对话，逐步形成对上述三个问题的认识。随后，教师继续组织全班汇报）

生：（手指着说）我觉得连接这一点到这一点的线段是半径。

师：有没有不同的表述？

生：我觉得从圆的中心点到边上随便一点的线段都是半径。

生：我觉得连接圆心和圆边上任意一点的线段都是半径。

师：说得真好！圆的中心点，数学上我们叫圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段，我们把它叫半径，用字母r表示。（板书：圆心O，半径r）半径真的有无数条吗？怎么理解？

生：我们知道，连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径。既然可以是任意一点，那么，相应连出的半径也就有无数条了。

生：假设我们已经画了一条半径，现在，我们只要把圆上的点往边上移一点点，就可以得到一条新的半径。比如，我们可以移0.0000001厘米，甚至更短，那么，相应地，我们就可以得到越来越多的半径，直到无数条。

生：我们还可以这样想，先画一条半径，把这条半径绕着圆心旋转，如果每次旋转1度，就可以得到360条半径。但是，如果每次旋转 0.1度、0.01度、0.000001度，甚至更小的角度，那么，我们就可以得到越来越多的半径，直到无数条。

生：我们四年级时就知道，一条线段上可以有无数个点，那么，我觉得圆上也应该有无数个点。有一个点，就会连出一条半径；无数个点，就可以连出无数条半径。

师：说得真好！有的同学抓住“任意”一词，给出了自己的理解；有的通过点的移动和线的旋转，给出了自己的思考；也有的同学结合点的无穷性，推演出半径有无数条。这样的思考很有意思，也很有深度。我提议大家给他们热烈的掌声。（掌声）既然半径有无数条，为何只要一个数据就能够确定圆的大小？

生：因为半径的长度都相等。

师：给出你们的理由。

生：我们小组是量的，通过测量，我们发现，这个圆的半径都是3厘米。

生：昨天，我们用圆规画圆时发现，无论画到哪里，圆规两脚间的距离都是不能变的，而圆规两脚间的距离其实就是半径的长度。所以，半径的长度都相等。

生：我这儿就有一个圆。我把它对折了两次，发现这些半径都重叠在一起；如果继续对折，得到的半径会越来越多，但所有的半径都完全重合在那里。所以，我们认为半径的长度都相等。

师：测量、对折也好，结合圆规画圆的经验推理也好，都可以帮助我们发现，半径的长度都相等。看来，研究同一个问题，我们可以有不同的角度，不同的思路。回顾一下，通过刚才的学习，我们对圆有了哪些新的认识？

生：我们知道了什么是圆心、什么是半径。

生：我们知道了半径有无数条，长度都相等。

生：因为圆有无数条半径，而且长度都相等，所以，要确定圆的大小，只需要半径这一个数据就可以了。

师：除了半径，还有没有别的数据，也可以确定圆的大小？

生：有，应该是圆的直径。

师：怎样的线段是圆的直径？直径又有哪些特点？带着这两个问题，再次展开研究，并给出你们的见解。

（学生组内思考、研究、对话，随后全班进行交流）

生：我们组发现，直径一定要经过圆心。

生：而且它的两端都要在圆上。

生：我们觉得，两条半径正好组成一条直径。

生：我觉得他的观点不准确。不是任意两条半径都可以组成直径的。只有两条半径在同一直线上时，这两条半径才可以组成一条直径。

生：我还有补充，也就是说，直径的长度是半径的两倍。

（教师相机揭示直径的概念，介绍字母d，并给出d=2r）

生：我们组发现，和半径一样，直径也有无数条。

师：能具体说说原因吗？

生：因为圆上有无数个点，只要有一点，就可以对应连出一条直径。所以直径也有无数条。

生：因为半径有无数条，而在同一条直线上的两条半径就可以组成一条直径，所以直径也就有无数条。

师：你是说，无数的一半还是无数吗？

生：（犹豫了一下）是的！

师：多了不起的发现啊！还有补充吗？

生：和研究半径时一样，直径也可以角度无限小地旋转。这样，我们也可以得出无数条直径。

师：关于直径都相等，如何理解？

生：同样，我们也可以测量我们手中的圆，直径的长度都是6厘米。

生：因为半径是直径的一半，半径的长度都相等，那么，直径的长度也肯定都相等。

师：看来，半径也好，直径也罢，尽管都有无数条，但它们的长度都相等，所以，只要一个数据就能确定圆的大小了。这让我想起，墨子曾经是这样描述圆的：“圆，一中同长也。”结合刚才的研究，你能具体说一说它的含义吗？

生：“一中”，大概是指的圆心；“同长”，应该是指圆的半径或直径同样长。

师：是啊。正因为“一中同长”，所以，尽管圆那么复杂、精巧，但一个数据就可以描述它的大小。这就是圆这个图形的美妙之所在。

三 进行一次想象

师：课前，同学们都尝试着用圆规画了圆，能否给大家展示一下你们的作品，以及画圆的感受？

（学生展示作品，如图2，并作交流。教师选择如下作品，引导学生进行评价）

图2

生：我觉得他下面几个圆画得不错，上面两个圆不行。

生：我估计他一开始没有掌握方法，所以画得不行。后来掌握方法了，所以画成功了。

生：我猜他一开始没画好，可能是因为圆规的针尖移动了。画圆时，圆规的针尖是不能移动的。

生：我觉得，还有可能是，他画圆时圆规的两脚之间的距离变化了。一般来说，圆规两脚间的距离是不能动的。一动，就没法画出一个正常的圆了。

师：看来，要用圆规画好一个圆，需要掌握一定的技巧，比如手握柄，针尖——

生：要固定。

师：课后，希望同学们带着对圆的特点的认识，多多尝试并体会圆规画圆的方法，在画圆中再次感受圆的神奇与美妙。不过，在同学们的作品中，我发现了一些很有意思的作品，一起来分享一下。（出示图3）观察这幅作品，有没有发现，它特别容易让我们联想到生活中的哪个画面？

图3

生：我觉得它像石头丢进平静的水面后，荡开的一圈圈涟漪。

师：多生动的想象啊！

生：它还让我联想到被锯开的树桩。

生：它还像我们体育课上玩的靶子。

生：像北京的天坛，从天空向下俯视的画面。

生：像一种大的餐盘，从底部看到的样子。

……

师：同样的画面，不同的同学就会有不同的想象，真了不起。我们继续来看下面的画面（如图4），又让你联想到了什么？

图4

生：像自行车的车轮。

生：像橙子横着切开以后的样子。

生：像切开来的比萨饼。

生：从上面俯看，像一把打开的雨伞。

生：像商场摇奖用的大转盘。

……

师：同学们的想象力同样让人惊讶！如果这是车轮，那么车轴在哪里？（圆心）有没有想过，车轴为什么要装在圆心的位置？装在别的地方，可以吗？

生：不行。如果装在别的地方，车子行驶起来就不平稳了。

生：车轴要装在圆心的位置，这样就可以保证，车轴到圆上所有地方的距离都相等，行驶起来就比较平稳了。

师：如果真装在别的位置，（出示图5）你能感受一下骑车时的状态吗？

图5

（学生表演，大笑）

师：两幅简单的图，给大家留下了如此丰富的想象空间，也进一步说明，生活中的圆，真是无处不在。课前，老师也从生活中找到了两个独特的圆。大家说，是直接出示图片，还是给出一些线索，大家来猜一猜？

生：给线索，大家猜一猜。

（出示线索一：r=15cm。学生或比画，或想象，或交流，然后给出自己的判断）

生：我觉得它可能是一个脸盆。

生：还可能是我们坐的圆凳的凳面。

生：还可能是一个圆形蛋糕。

生：可能是一个圆形的比萨。

生：我觉得还可能是一个圆形的飞盘。

师：其实，正确答案是什么并不重要，重要的是，大家对r= 15cm的圆大概有多大，已经有了自己基本的想象和判断。

出示图片如下：（如图6）

图6

师：找到r=15cm的圆在哪儿了吗？

（学生指钟面的外轮廓）

师：在这个钟里，如果仔细观察，你还能找到别的圆吗？

生：我发现数字里也有圆，比如10、9、8、6里面都有圆。

生：我发现，钟面中间的转轴，看起来也是一个圆。

生：我发现，这些数字外面的一个个点，也是一个个小圆。

师：观察得真够细致的。

生：我发现，如果把这些点连起来看，得到的也是一个圆。

师：说得好！60个点连起来或许还不够成为圆，但随着点的个数的不断增加，连起来的图形会越来越接近于一个圆。

生：我还发现，这三根针转动起来，也能形成三个圆。

师：太了不起啦！针扫过的部分，我们称它为圆面。针尖这个点在旋转过程中留下的运动轨迹，才是我们今天认识的圆。不过，这三个圆，哪一个大？哪一个小？

生：我觉得秒针转动一圈形成的圆最大，时针转动后形成的圆最小。

生：我发现，针越长，旋转后形成的圆越大；针越短，旋转后形成的圆越小。

生：这说明，圆的大小和半径的长短有关。

师：那么，圆的位置和什么有关呢？

生：我觉得应该和圆心有关，圆心在哪里，圆就在哪里。

师：同样一个钟面，有的同学只看到外圈的圆，而有的同学却在里面发现了其他各种形态的圆；有的同学只看见了圆，而有的同学却通过观察和思考，发现了更多圆的特征和奥秘。这就是数学的眼睛。继续来看第二个圆。

（出示线索二：d=135m。学生惊叹后，或比画、或想象、或交流，然后给出自己的判断）

生：我觉得它可能是一个巨大的圆形广场。

生：会不会是北京天坛的回音壁？

师：你的视野很开阔。

生：我觉得可能是航拍时发现的麦田里的怪圈。

生：我猜，会不会是美国发现的陨石撞击地球后形成的圆形陨石坑？

师：我发现，这一回，大家的答案就不那么肯定了，什么原因？

生：因为这个圆实在太大了，平时生活中很少遇到这么大的圆。

师：是的。为了寻找到这个特别的圆，去年假期，张老师专门带儿子来到英国伦敦——

生：我知道了，应该是“伦敦眼”！

教师出示图片：（如图7）

图7

（学生一片惊叹声）

师：正因为它非常壮观，在正式游玩前，儿子突然萌生出一个计划，他希望我和他能够坐在摩天轮上相隔最远的位置上。你们猜，他能实现这一愿望吗？

生：能！

师：（指摩天轮上一点）如果我坐在这里，你们猜，他可能会坐哪里？为什么？

生：（指某一点）我觉得他应该会坐这里。

生：他和你坐的地方连接起来，这条线段会穿过中间的转轴。

生：我觉得，把你的位置想象成直径的一端，他应该就坐在直径的另一端。

师：其实，他还有很多位置可以坐，为什么他偏偏坐在直径的另一端？

生：因为，直径是圆里面最长的线段。

师：说得真好！你看，再普通不过的游乐活动中，如果带上一双数学的眼睛，我们一定会发现，原来它里面还蕴藏着丰富多彩的数学奥秘呢。今天下课后，张老师希望大家都能够像今天课堂上这样，带着一双数学的眼睛重新认识我们周边的世界、认识我们的生活，去发现更多和数学有关的问题和奥秘！

（作者单位：江苏南京市北京东路小学）