渗透数学思想 建构数学模型——『间隔排列』与『植树问题』整合案例及分析

◇王 岚

渗透数学思想 建构数学模型
——『间隔排列』与『植树问题』整合案例及分析

◇王 岚

一 关注本质，认识特征

（一）画图体验中认识一一间隔

师：今天的数学课，我们从熟悉的图形朋友开始。（电脑逐个显示△○△○△○）大家猜一猜，下一个会是什么图形？

生：三角形。

师：他猜得对不对呢？（电脑显示△）接着猜。

生：圆。

师：（电脑显示○）下一个是——

生：三角形。

师：（电脑显示△）为什么每次都能猜对呢？

生：因为这里图形的排列是有规律的。

生：都是一个三角形后面跟着一个圆。

师：是呀，正如同学们所言，这里的三角形和圆的排列是有规律的。这节课我们就一起来探索规律。不看屏幕，你能按照这样的规律自己画一画吗？第一个是三角形，第二个就是……

（生自由创作）

师：我们一起来分享部分同学的作品。他们的作品都画对了吗？怎样画就能符合要求？

生：第一个是三角形，第二个是圆，第三个是三角形，第四个是圆……以此类推。

生：一个三角形和一个圆可以看成一组，这样按顺序画下去。

师：像这样一个三角形、一个圆，一个三角形、一个圆……依次排列下去，在数学上，我们就可以说三角形和圆一一间隔排列。

【分析：从学生熟悉的图形导入，在猜图形中初步感受排列的顺序，在画图形中深化感知排列的规律，在丰富多样的作品（数量各不相同）中更为深切地体会一一间隔排列的本质特征。】

（二）分类比较中感知一一间隔

师：这里的6幅作品都是三角形和圆一一间隔排列。仔细观察，你能把它们分为两类吗？和同桌讨论一下，并说说你们是根据什么来分的。

生：我们小组把（1）、（2）、（4）分成了一类，把（3）、（5）、（6）分成了一类。

师：说说你们这样分类的理由。

生：（3）、（5）、（6） 都是一组一组的；（1）、（2）、（4）是一组一组地来看，最后还多一个。

师：一组一组地观察是一种很好的研究思路。我们也可以说成一个三角形对应着一个圆。（板书：一一对应）根据他们小组的思路，这里的6幅作品就分成了刚好对应没有剩余和一一对应还有剩余的。

生：我们小组，也是这样分的，但我们的理由不同。（1）、（2）、（4）这一类，第一个是三角形，最后一个也是三角形；而（3）、（5）、（6）这一类，第一个是三角形，最后一个却是圆。

师：抓住开头和结尾来观察是一种非常好的研究思路。根据这组同学的思路，一类是首尾相同的，还有一类是首尾不同的。（板书：首尾相同，首尾不同）同样是一一间隔，但还有两种不同的类型呢。

二 聚焦关系，发现规律

师：在兔子乐园里，你能找到一一间隔排列的物体吗？它们的排列又是怎样的类型呢？同桌相互交流一下。

生：兔子和蘑菇是一一间隔排列的，首尾相同；木桩和篱笆是一一间隔排列的，首尾相同；蝴蝶和蜜蜂是一一间隔排列的，首尾不同；树叶和花朵是一一间隔排列的，首尾不同。

师：我们先来研究首尾相同的情况。你们认为两种物体的数量是相等的还是不相等的？

生：我觉得数量不相等。

生：我猜想排在两边的物体会比中间的多1。

师：一一间隔排列，首尾相同时，两种物体的数量相差1。这只是我们的猜想。究竟是不是这样呢？我们还需要验证。请同学们任意选择兔子和蘑菇或木桩和篱笆进行数量比较。可以数一数，也可以画一画、连一连。

生：我研究的是兔子和蘑菇，兔子有8只，蘑菇只有7个，兔子数比蘑菇数多1。

生：我研究的是木桩和篱笆。木桩有13根，篱笆有12个，木桩的数量比篱笆数量多1。

师：这两位同学用的是数一数的方法。

生：我研究的也是兔子和蘑菇。1只兔子和1个蘑菇是一组，我用一个圈表示，这样继续圈下去，最后多了1只兔子。

生：我研究的是木桩和篱笆。我用连线的方法，1根木桩对着1个篱笆，这样连下去，最后1根木桩是单独的。

师：这两位同学，圈一圈、连一连，用对应的方法发现最后还多了1只兔子、1根木桩。

【分析：举例验证的过程中，重视方法的指导。不仅可以数一数，还可以画一画、圈一圈、连一连。而在多样的方法分享中，不同思维层次、不同验证方法的学生可以彼此启迪，一一对应的思想方法也潜移默化地得到了再次凸显。】

师：现在，我们能证明猜想正确了吗？（生：能）仅凭两个例子就能说明我们的猜想正确了吗？其他首尾相同的是否也符合呢？

生：还不能。我们需要举更多的例子。

师：同学们创作的作品中就有很多不同的例子。小组合作，验证组内一一间隔首尾相同的作品是否符合猜想。

（经验证，各个小组的作品都符合猜想）

师：有没有不符合猜想的？（生：没有）我们举了大量的例子，都符合猜想，而且没有反例。说明猜想是正确的。接下来，我们继续研究一一间隔首尾不同的情况。这一次，你们的猜想是什么？

……

【分析：在探索规律、建构模型的过程中，引导学生在“一一间隔首尾相同的情况”中完整地经历提出猜想、大量举例、进行验证的过程。这样的研究方法模型不仅可以直接迁移运用于 “一一间隔首尾不同的情况”，其更大的影响在于提升后续数学研究的科学性与规范性。】

三 联系生活，运用规律

师：在我们的教室里，也藏着一一间隔的现象，你能找到吗？一一间隔的两种物体的数量有什么关系呢？

生：桌子和椅子是一一间隔排列的，首尾不同，数量是相等的。

生：电灯和风扇是一一间隔排列的，首尾相同，电灯比风扇多1。

师：我们每天都排队做操、做游戏，在排队中也有一一间隔的现象呢！（邀请4个男生排成一排，等距间隔）现在是一一间隔排列吗？

生：我觉得可以看成是一一间隔排列，是男生和中间的空位一一间隔。

师：这时，男生与中间的间隔数量相比怎么样？

生：首尾都是男生，男生数比间隔数多1。

师：如果我们请上女生和男生一一间隔，最少需要几个女生？

生：3个女生。首尾都是男生，女生人数就比男生少1。

师：最多能排几个女生？

生：5个女生，首尾都是女生，女生人数就比男生多1。

师：现在我们讨论的都是首尾相同的情况，还可以——

生：首尾不同，就需要4个女生。

（请上4个女生）

师：可以怎么排？请一位小老师来指导排队。

（排列如：♂♀♂♀♂♀♂♀）

师：还可以怎么排？

（调整为：♀♂♀♂♀♂♀♂）

师：还能调整吗？

（引导学生手牵手，形成一个圈）

师：现在还是一一间隔排列吗？这样的排列，和哪种情况是类似的？

生：我发现了！和首尾不同的情况是一样的。原来是排成一排，现在是围成一圈。

【分析：从首尾相同与首尾不同出发，在看似游戏的活动中，巧妙地实现了“直线排列”思维定式到“封闭排列”思维转变的跨越，在外在的不同之中发现内在的相同，类型可以归并，模型可以归一。】

四 深化模型，拓展运用

师：同学们在植树的过程中，也在运用着一一间隔的规律。你能解决这个植树问题吗？在小组里讨论讨论。

生：我们小组认为这里的植树问题没有讲清具体的情况。究竟是首尾相同还是首尾不同？

生：我们也同意刚才小组的观点。不同的情况就有不同的结论。

师：那你们认为有几种情况呢？

生：一种是首尾都是树。

师：也就是两端都栽。

（师在“首尾相同”的下方板书：两端都栽）

生：另外一种是首尾不同，就是一端栽树一端不栽。

（师在“首尾不同”的下方板书：只栽一端）

生：我补充，还有一种是两端都不载，就是首尾都是间隔。

（师在“首尾相同”的下方板书：两端不栽）

生：我从刚才的排队受到启发，还有一种可能，这条小路还可能是一圈的。

师：如果是围成一圈，我应该写在哪里？

生：写在“首尾不同”的下面，其实它们是同一类的。

师：现在你们能分类解决了吗？在自己练习本上做一做，然后在小组中说一说。

生：我代表小组汇报第一种。我们先用100÷ 5=20，算出有20个间隔，然后根据不同的情况进行计算。两端都栽，就是首尾是树，树的棵数比间隔数多1，要栽21棵。

生：我汇报第二种，两端都不栽，首尾都是间隔，间隔数比树的棵数多1，要栽19棵。

生：如果是只栽一端或者围成一圈，都是属于首尾不同的情况，这时树的棵数和间隔数相等，所以要栽20棵。

【分析：从间隔排列到植树问题，学生不断处于辨析与思考之中。植树问题的各种情况与间隔排列的两大类型建立起了分类对应的关系。在类型的归并与关系的从属中，模型的理解走向深刻，模型的运用走向多维。】

五 总结回顾，升华认识

师：今天这节课，我们以间隔排列为研究对象，经历了分类思考、提出猜想、举例验证、得出结论、运用规律的过程。借助一一间隔的规律解决了生活中的植树问题。回顾研究的过程，你有什么收获？你又产生了什么新的问题？

生：我想研究间隔排列中其他的情况，比如灯、风扇、风扇、灯、风扇、风扇……

师：是呀，如果是这样的排列，蕴含着怎样的规律呢？有兴趣的同学可以在课后继续研究。

【分析：一节数学课的价值，不仅仅在于学生已经知道了什么，更为可贵的是引导学生继续研究什么。从一一间隔到植树问题的自然对接，从间隔排列再到周期问题的应然思考，课堂淡化了边界，问题导引了方向，研究走向了深入。】

（作者单位：江苏常州市武进清英外语小学）