追寻历史足迹，让启发自然——以“圆的面积”一课为例

◇仲爱云

追寻历史足迹，让启发自然
——以“圆的面积”一课为例

◇仲爱云

一 问题的提出：启发在哪里？

听罢实习生执教的“圆的面积”一课，教学过程顺畅，可又感觉生硬、别扭；教学环节丝丝入扣，可又觉得少了许多。我想说老师提问太多，没有留给学生任何机会，实习生说是为了“启发”。究竟启发在哪里呢？不妨回顾教学过程中的几个片段。

片段一：揭示课题，初步估算

（教师把圆形图片置于方格纸内，如图1）

图1

师：怎样数？

生：不足1格按半格算。

师：如果非常接近1格时，怎么办？

生：可以按1格算。

师：这么大的圆形，都要数吗？

生：是的。

师：有更简单的方法吗？

生1：只要数出其中的四分之一。

生2：只要数出那个小正方形中的空白处，就可以求出它的四分之一了。

片段二：进一步验证

过渡语：圆的面积大约是其半径平方的3倍多一点，但具体是多少我们还不太清楚，我们需要更加精确的数据来表示。

师：请同学们回忆一下，在求平行四边形、三角形、梯形等图形的面积时，我们是用什么方法进行推导的？

（生答，略）

师：那我们能否用剪拼的转化方法推导出圆的面积呢？请大家讨论一下。

（生讨论）

师：怎么剪呀？

生：可以沿半径剪，也可以沿直径剪。

师：假设把它剪成了4等份，怎么拼呢？

（师在课件上示范剪成8等份时剪、拼的转化方法。以16等份为例，让学生小组合作拼，拼成一个近似的平行四边形）

师：像长方形吗？近似长方形的长与圆有什么关系呢？近似长方形的宽呢？长方形的面积你能求出来吗？在转化的过程中，圆的面积变了吗？那此时你能得出圆的面积应该怎么求吗？

（生一一回答，略）

启发，源于孔子的“不愤不启，不悱不发”。百度百科释义为：开导指点或阐明事例，引起对方联想并有所领悟。启发式教学，主要就是教会学生质疑，积极思考。看片段一和片段二，师问生答，教学过程顺畅，学生没有“疑”，没有自我“思”，当然也没有“悟”，启发在哪里呢？没有波澜起伏，更缺少教学深度。随着课程改革的推进，课堂摒弃了满堂灌，启发式教学成为人们的共识。但是满堂问替代了满堂灌，而满堂问并不意味着就是启发，只是冠名“启发”，实为“代发”。

二 诊断问题：如何变“代发”为“启发”？

1.启发需要等待：从曹冲称象的故事说起。

在猜想圆面积公式前，老师由曹冲称象的故事引出了“转化”的思想。

讲故事的目的是什么？显然是为了启发学生获取推导圆面积公式的思路。既然如此，就应该留出时间供学生思考。无论学生是否有思路，都必须耐心等，给学生机会，不怕没有惊喜，就怕老师缺少发现。在课堂上，有这么一个环节：

生1：老师，我有办法了——称。

（大家都纳闷：面积也能称？）

生1：（继续）可以用沙子铺成一个圆（一层），然后再铺一个边长等于直径的正方形。面积的比就是它们对应沙子的质量的比。

可惜，老师以沉默和不搭理“攻击”了学生。

探寻圆面积推导的历史足迹：

有一天，卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：咦，布不是可以看成面积吗？布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到线段为止……几何学规定平面是没有厚薄的，这样也是有道理的。卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积的新方法。

沙子间也许还有缝隙，学生的思考不会达到卡瓦利里那么缜密、那么深入，不过有几分历史相似性。老师不妨说，沙子未必铺得均匀，可以把沙子换成布。沿着历史的足迹，学生在这样的历史文化氛围中，受到鼓舞，更容易产生猜想。充分利用学生把圆放在正方形内，利用“化圆为方”的雏形，因势利导，形成启发。学生的回答也许不是老师心中所想的，也不是老师所预料到的，课堂教学显得不那么“风平浪静”，可这样正是真实、自然的，耐心等待，让学生充分思考后，启发才有用武之地。

2.启发要有主旨：从曹冲称象到数方格。

也许很多老师会说：不是面对每个班级，讲完曹冲称象的故事，等待后都有学生回答；即使学生的回答“百花齐放”，但往往偏离正题很远。

学生听了故事而没有回答，说明故事本身未能引起学生足够的兴趣。曹冲称象是个好故事，但对于六年级的学生，已耳熟能详了，这可能导致启而一言不“发”。如果学生很配合老师，但回答“跑题”，那我们就不得不反思：故事本身“启点”在哪里？曹冲称象的“转化”能撬开我们圆面积公式推导的思路吗？学生的表现说明“启点”不够突出，不足以让学生产生类比或联想。我们进一步看教学片段，发现故事与数方格衔接不紧密，与后面的验证猜想、推导公式中的数学思想“铆合”不紧密。因此，这个故事不太容易让大多数学生形成有效的启发，可谓远水解不了近渴。

片段三：

师：很好。下面请大家根据这些方法，打开书本，数一数、算一算每个图形的面积有多大。第一组数图2，第二组数图3，第三组数图4。

师：数的过程中可能会产生一些误差，只要结果在这个范围内，就算正确，并从中选出任意一个数据进行研究，看看圆的面积与半径有什么关系。

图2：49～51cm2 图3：29～31cm2 图4：77～79cm2

正方形的面积（cm2）圆的半径（cm）圆的面积（cm2）圆的面积大约是正方形面积的几倍（精确到十分位）164503.1 9 3 303.3 255783.1

老师给出了三个面积不等的圆，让学生由三组数据找出规律，猜想出圆的面积与半径的关系。这一步做得不错，但差一点火候，学生的思维完全可以进一步发展。我们不妨把方格细分，边长由1cm到1mm，会得出表格中第四列的数据（精确到百分位）约为3.14；再进一步细分，利用计算机演示，步步细分，逐步逼近……在由粗略到逐步精确的过程中，学生能更自然地猜想出圆面积与半径平方的关系和圆周率有关。

考察圆面积公式的历史足迹：

在古希腊，求圆面积问题是当时三大数学难题之一。公元前5世纪，哲学家阿拉克萨克放弃财产，研究圆面积。辩士、诗人安提丰首次提出用圆内接正多边形解决圆面积问题的设想，但要得出公式还是空中楼阁。阿基米德、卡瓦利里、开普勒以及中国的刘徽等是在前人的基础上突破了“从有限到无限”，实现了“以直代曲”，用不同的方法提出了圆面积公式。

历史是一面镜子,它启示我们:渗透以直代曲、极限的数学思想是启发的重点与难点。在小学中，我们当然不会去讲以直代曲和极限，但我们可以带领学生往这个方向去想。正如安提丰一样，哪怕是先设想一个空中楼阁也行。进一步，数方格至少可以让学生在从近似往精确的路上往前迈一步。这样数方格就不是止于“数”，而是启发学生有了思考。接着，将圆与方格的一个个交点顺次连接，学生感悟：方格越细小，越精确，圆内接多边形的面积越接近圆的面积。学生自然有了疑虑：再怎么精确，总还是近似，该怎么办？

概念的形成是个缓慢的内化过程，具有“不可见”性，启发的方向尤为重要。我们要用长远的眼光来对待教学，不能只为了表面上“得出”公式。对小学生不能讲以直代曲，不能讲极限，但这节课承载着渗透以直代曲、极限思想的使命，最起码要让小学生知道“随着方格越来越细小，圆内接多边形的面积越来越接近圆的面积”。

3.启发应拒绝“过度分析”。

《学会生存》一书曾做出论述：“教师的职责在于越来越少地传授知识，越来越多地激励思考，除他的正式职能外，他越来越成为一位顾问，一位意见交换者，一位帮助发现矛盾论点而不是拿出现成真理的人。”

考察片段一和片段二，比如在数方格（片段一）的时候，就应放手让学生去数，信任学生，很少有学生那么傻，数多的或数全部。即便如此，有个别学生数的方法不够好，通过小组合作观察别人的方法，自己也能够“纠正”，这正好可提高学生自身的“免疫能力”。片段二中，老师详细分析如何剪、如何拼，牵着学生把圆剪拼成长方形。过度的分析等于扼杀了学生丰富的想象力。因为圆的面积公式的推导不是靠直观经验就能获得的，它必须借助想象和理性思维。太着眼于细节和局部的分析，学生就会失去独立思维与判断的机会，反而起不到启发的效果。

对比改进：

预先让学生用一张正方形的纸和一把剪刀（不用圆规）剪出一个“圆”，看谁剪得够圆。让学生充分交流后，问学生发现了什么。

生：有的同学剪得很圆，有的剪得不怎么圆。

师：为什么？

生：折得越多越接近圆。

生：折得越多，圆的每个小扇形就越接近三角形。

生：只要折得够多（分得越多，直至无穷多）圆的面积就可以转化分割成很多小三角形的面积。

……

然后，让学生交流，讨论如何求这些小三角形面积的和。可以剪拼成三角形、梯形、长方形，让学生自己去决定拼成什么图形，培养他们独立思考、做出判断的能力。

接着，可以向学生介绍17世纪开普勒在结婚时，思考葡萄酒桶体积算法时想出圆面积计算方法的小故事。不去拼，而是把“小三角形”转化成等底等高的三角形。（如图5）

图5

4.启发要从大处着眼、小处着手。

启发拒绝过度分析，要有自由度与开放度，但不是不注重细节，放手不是放任和随意。正因为从大处着眼了，启发有了主旨，每个环节、每个细节都要为之服务，甚至每句话都得仔细推敲。例如在片段三中，“师：在数的过程中会产生一些误差，只要结果在这个范围内，就算正确，并从中选出任意一个数据进行研究。”数的过程中怎么会产生误差？数就不应该有误差。如果不准确，不是数的原因。“只要结果在这个范围内，就算正确”，既然老师都算正确，学生哪有动力去追求更精确或者准确的呢？这不是和“从近似走向准确”矛盾吗？这也使得学生缺少了去思维的动机。看来老师“少讲，少些言语”不一定不是启发，你不说，学生还有疑问呢！正好留给学生思考的机会，再怎么数，再怎么细化方格，只要是有限次的，总还是近似的，不是准确的。看来启发的语言要推敲，甚至语气等都别有一番讲究。讲得多，问得多，甚至满堂问未必就是启发，不是有问题就是启发，要看怎么问，由谁来问。启发有技巧，每个细节都必须关注，真所谓“细节决定成败”。

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1999.

[2]高燕，胡媛.圆的面积：从历史到课堂[J].上海中学数学，2014，（5）：1—3.

（作者单位：江苏南通师范高等专科学校如皋校区）