溶瘤疗法动力学模型的改进与分析

陈　影,苏永美

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)



溶瘤疗法动力学模型的改进与分析

陈影,苏永美

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

摘要：研究了一个改进的溶瘤疗法动力学模型。通过分析该模型，得到了解的有界性和非负性。利用微分方程理论分析了零平衡点的不稳定性、边界平衡点的全局稳定性及正平衡点的局部稳定性。最后，通过数值模拟来验证边界平衡点和正平衡点的稳定性。

关键词：肿瘤；溶瘤疗法；稳定性；数值模拟

0引言

肿瘤是严重威胁人类健康的疾病，传统的放疗和化疗在杀死肿瘤细胞的同时，对人体正常细胞也会造成伤害[1]。溶瘤病毒是一类具有复制能力的肿瘤杀伤型病毒，无法在正常的机体细胞内复制，因此，对于正常的细胞无杀伤作用[2]。

许多学者对溶瘤疗法做了深入研究[3-5]，而且溶瘤疗法也被广泛地应用到临床治疗[6-8]方面。近年来，为了更好地研究肿瘤病毒疗法的动力学模型，并且找到更好的治疗策略，一些相关的数学模型被提出[9-15]。文献[2]提出了一般模型，这个模型中不包含病毒这个变量。第一个关于溶瘤疗法的微分方程数学模型是由文献[11]提出的。事实上，病毒数量的变化对溶瘤疗法的动力学研究也非常重要。文献[16]建立了同时包含肿瘤细胞和溶瘤病毒两个变量的数学模型，并对肿瘤病毒用到了Logistic增长。文献[9]在数学模型中加入了病毒释放率b，即一个感染的肿瘤细胞在裂解时所产生的病毒数量。文献[9]提出的病毒疗法一般模型为：

(1)

(2)

模型(2)的初始条件满足如下形式：

x(0)>0,y(0)>0,v(0)>0。

(3)

1解的有界性和非负性

性质1模型(2)满足初始条件(3)的解，对所有的t>0都是最终有界的，并且是正的。

下面证明模型(2)满足初始条件(3)的解都是最终有界的。

由上面分析可得出:满足条件(3)的模型(2)的解，对所有的t>0是正的,并且是最终有界的。

2稳定性分析

μ1=-λ；

对于一切非负参数，μ1和μ2都是负的。

特征方程为:

p(μ)=μ3+Aμ2+Bμ+C，

(4)

其中：A=-a11-a22-a33；B=a11a22+a22a33+a11a33-a12a21-a13a31-a23a32；C=a11a23a32+a12a21a33+a13a22a31-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a31。

(5)

由Routh-Hurwitz原理，当式(5)满足时，方程(4)的所有根都有负实部。

定理3 当条件(5)满足时，平衡点E*是局部渐进稳定的。

3数值模拟

用MATLAB模拟平衡点的稳定性，选取参数：λ=0.5,K=9×106,β=0.2,γ=0.6,δ=0.8，b=2，ε=0.009，此时定理1的条件满足，平衡点E1的稳定性模拟结果如图1所示。选取b=5，其他参数不变，此时定理3的条件满足，且平衡点E*存在，其稳定性模拟结果如图2所示。

图1b=2时，E1的稳定性模拟 图2b=5时，E*的稳定性模拟

4结论

参考文献：

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基金项目：国家自然科学基金项目(61074192，11101028)；国家中医临床研究基地业务建设科研基金项目(JDZX2015299)

作者简介：陈影(1990-),女,河南驻马店人,硕士生;苏永美(1971-),女,山东临沂人,副教授,博士,硕士生导师,主要从事常微分定性和稳定性分析、生物数学模型及微分方程模型的最优控制等方面的研究.

收稿日期：2015-12-23

文章编号：1672-6871(2016)04-0092-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.04.019

中图分类号：O175.13

文献标志码：A