数学思想方法是数学的灵魂——“凑十法”在四则运算和图形计算中的变式运用

四川省犍为县研训中心 王贤华

什么是数学思想，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实和数学理论本质的认识。一个人学会了一定的数学知识，随着时间的推移会渐渐遗忘，甚至一片空白，但领悟了数学思想，掌握了获取知识的方法就是掌握了学习数学的精髓。新课程标准里强调：数学内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成和蕴藏的数学思想方法。要让学生理解和掌握数学基础知识和基本技能、领悟数学思想方法、获到基本的数学活动经验，从而提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。所以在小学数学教学的开始——一年级，教师就要钻研教材，分析教材中所蕴含的数学思想方法，有意识地培养学生深刻领悟并灵活运用数学思想方法，在教学中要有意识地开展数学思想的变式渗透，促进学生可持续的发展，是新课标给数学老师提出的要求。“凑十法”的思想方法，让学生初步感知到数学的知识与方法的联系，即数学的知识中包含着方法，方法能促进获取知识。“凑十法”在以后的“小数”“分数”以及“几何图形”的知识学习中都能变式运用。

一、“凑十法”在20以内的加法里的运用

在一年级的教材里，9加几的进位加法的教学过程：出示了情景后列式：9+4。先利用实物图（主题图中）计算9+4，呈现了点数、接着数、凑整箱（凑十法）三种方法，比较分析后讨论方法的优劣，重点显示“凑十法”的计算过程，并通过摆一摆、算一算，加深对“凑十法”的理解。还配合图在算式下面注出了凑十的过程，把操作与计算对应起来，便于学生理解算理和掌握“凑十法”，也为学生脱离实物通过思考算出得数打下基础。

这个图式完整表达了凑十法的思维过程，通过4拆成1和3（为什么不拆成2和2），再用9和1组成了10，用数的组成计算进位加法。这样9加几的进位加法转化成了10加几的加法。通过比较、体验和感受，从而让学生主动接受和应用凑十法，通过这样的教学要让学生学会应用一种具体的算法，更让学生进一步认识凑十的计算快捷性，让学生真正经历由数数—计算—算理的发展过程。凑十法的教学过程，向学生渗透数学的思想方法有“分解与组合”“转化与变换”的方法。以上教学过程我认为还可以适当扩展，以利于今后的学习需要。

以上两种计算方法，左面是让学生理解凑十时可以看大数拆小数，也可以看小数拆大数，本质上是同一种思维。而教材强调拆4补9（看大数拆小数），忽略了拆9补4 （看小数拆大数），两种思路没有优劣之分，两种方法都能开发学生的思维。上面的计算方法让学生领悟：把一个数拆成两个数的和，也可以拆成两个数的差。这样补充后在一年级学生的心灵深处扎下了对“凑十法”的牢牢根基。一题多解、一题多变，培养了学生思维的灵活性。

二、“凑十法”在四则运算中的变式运用

多位数加减法的计算中常常使用凑整百、整千等的方法，学生的学习起点仍然是一年级学习的“凑十法”的发展和运用。虽然知识内容不同，但采用的数学思想方法不变，这就体现了思想方法的层次性。

案例：（一）487+398的教学时，引导学生分析数的特点，得出398很接近400，所以把398拆成400—2，487+398=487+400—2=885 （二）482—305的教学时，让学生观察数的特点，知道305由300和5组成，所以把305拆成300+5，482—305=482—300—5=177 这两个案例是把一个数拆成两个数和或差，是其思维方法与9拆成3和6或者10—1同出一脉。

由20以内的计算到多位数、分数、小数的计算，“凑十法”的思想都得到体现。可见，数学思想是一种隐性知识，它从浅层到深刻的递进。

三、“凑十法”在几何面积计算中的变式运用

生活中处处需要测算几何图形的周长或面积，但更多不规则图形的相关计算需要学生掌握一定的方法，一般都是采用割补法将不规则图形转化为规则图形，从而合理地计算。变式后将未知转化为已知，实现了认知方法的飞跃。

（一）割补法在图形面积计算中的运用

如测算小旗的面积是多少？

学生讨论后得出有两种作图方法：一是通过分割，图形变为一个长方形和两个三角形。二是通过贴补，图形变成为一个长方形和一个三角形。不规则图形通过割补（相当于数的分与合）转化成了长方形和三角形，测量相关数据后计算图形的面积计算。作辅助线的割（补）与9分成3+6或者9分成10—1其方法同出一辙。这是“凑十法”由数到形的演变。

（二）转化在周长中渗透

不规则图形的周长转化为规则图形的周长。求不规则图形的周长时，用平移的方法，使不规则图形转化成规则图形，然后求其周长。通过变形实现新旧知识的衔接，实现了复杂问题向简单问题的转化。

图形的“分解与组合”与“转化与变换”——数字的分合，二者之间蕴含的数学思想方法完全一致。

凑十法的运用可以从20以内的加法迁移到整数的加减，再拓展到图形的割补或平移。虽然内容不同，但蕴藏的数学思想方法有共通性，因此数学思想方法往往是以数学知识为载体，以隐蔽的形式蕴含于课本的具体内容之中，这就要求教师首先要弄清楚教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系。教学中，教师要对整个小学阶段的数学教材进行全面梳理，从纵横两个维度研究每一种数学思想的系统，从而在具体的教学中有的放矢地进行变式教学，真正让数学思想的变式举一反三、触类旁通。