改变角度 另辟蹊径——李培芳老师“圆的认识”教学赏析

◇田小勤

改变角度 另辟蹊径
——李培芳老师“圆的认识”教学赏析

◇田小勤

“改变角度，另辟蹊径”包含两层意思：一方面，学生学习圆这个图形，相对小学阶段前五年所学的直线图形，有很大的不同。研究直线图形都是着眼边和角的特点，而研究圆，显然不能依照过往的经验，学生需要另辟蹊径。另一方面，圆的认识，属于经典的教学内容，在不同层级的赛课会及观摩活动中，一次次地被深入研究与精彩演绎：有的以“画圆”作为主导线索，贯穿课堂；有的以小组合作的方式，通过画一画、折一折、量一量等活动研究圆的特征；有的通过想象“到一个定点的距离相等的所有点组成的图形”，构建圆的概念……这次，李培芳老师教学“圆的认识”，从圆与正多边形的比较与思考入手，理解本质特征“一中同长”，又是一种创意，也可谓是“另辟蹊径”！

李老师追溯了人类对圆认识的漫长过程，分析了孩子们学习圆的困难所在，关注到几何教学发展思维的价值，于是，才有了今天的探索之旅。

一 通过比较与想象，理解“一中同长”

圆的本质特征是“一中同长”。一个没有任何标记的圆，学生看到的只是一条曲线，所谓“圆心、半径”并非固有、外显的存在，学生看不见，当然，就更谈不上“半径都相等”的特点了。李老师的教学策略是比较与想象。

1.比较椭圆与圆，唤醒关于圆的认识经验。

先出现第一个图形——椭圆，凭着直观认识，学生马上否定。

出现第二个图形——近似于圆的椭圆，所有学生都认为是圆，老师提出：其实它不是圆，如果给你一把尺子，你能用数据说明它不是圆吗？学生通过测量横向、纵向最长的线段，发现有差异，说明不是圆。此时的学习，学生是凭着最朴素的直观经验，虽不能说出缘由，但其实已经蕴含直径相等的意思了。而随着讨论是不是圆，学生心中必然有了他自己所理解的圆。

2.比较圆与正多边形，体会“一中同长”。

呈现多个图形，有圆、三角形、长方形、正方形、椭圆，聚焦“圆与其他图形最大的不同是什么”这一问题，意料之中，学生纷纷回答“没有顶点”“没有角”“没有直直的边”“对折都一样”等。不急，李老师这样引导：

圆对着其他图形说“我没有角”，椭圆会说：我也没角。

圆对着其他图形说“我没有顶点”，椭圆会说：我也没顶点。

……

借此，让学生感受到这些并不是圆的最大特点。然后李老师提出，圆有一个中心点，中心点到边上的距离都相等。其他图形会怎么想呢？

通过课件，结合想象，从等边三角形到正方形、正八边形、正十六边形……发现它们也有中心点，但到边上的点的距离不是全部相等。从而，明白圆最大的特点：一中同长。我特别欣赏“想象”这一环节，让学生真切感受到其他图形“中心到边上的点的距离总有些不一样长”，如果也要一样长，就会顶到图形外面，就会形成一个更多边的图形，一次一次想象，越来越接近圆，中心到边上的点的距离相等的线越来越多。既深刻理解“同长”的特点，又为发现“半径有无数条”积累经验。

但发现，在上述的探索过程中，总觉得学生跟不上，有点累，时不时需要老师出手拉一把，如“圆有中心点，中心点到边上的点的距离一样”均由老师自己提出，学生几乎没有往这个方向思考的趋向。如果在前面能有“观察画出来的圆”（原来教学设计中有）“把三角形、正方形、八边形、十六边形改画成圆”等活动，以丰富学生的活动经验，或许能帮助学生自主发现“一中同长”。

二 通过推理证明，理解“圆内线段直径最长”

对于“圆内线段直径最长”，在以往的课堂中，大都是通过画出圆内不同的线段，再通过量一量发现直径是最长的。而李老师在学生提出“直径最长”后，还追问：“为什么？能不能想办法说明？”此教学行为，反映了李老师对几何推理的关照，对中小数学学习衔接的关注。

推理能力要求学生能寻找证据、给出证明，能清晰、有条理地表达思考过程，几何推理论证是几何学习的重要内容，而我们当下的小学生在这方面极其薄弱，需要在不同领域、不同年级教学中予以关注。

李老师在课堂中，给学生创设了推理论证的空间。当学生用 “直径顶着两端”“平移下来比一比”等方法说明直径最长，再无他法之时，课件出示图 1：

图1

引导学生推理：在三角形中，两边之和大于第三边，两条边都是半径，它们的和就等于直径的长度，所以直径比其他线段要长。

我个人认为，李老师在引导学生推理时，显得比较仓促，只说明“在三角形中，两边之和大于第三边”，而弱化了直径和两条半径的关系，可能有一部分学生的推理思路不清晰。如果在课件展示后，留时间让同桌互相说说推理过程，也许学生能更好地体会“不能凭眼睛观察，还需要有理有据的证明”的深意了。

三 通过解决问题，深化“一中同长”

课堂最后环节，呈现系列化的两个问题。（1）海底有暗礁需要爆破，并给出两条信息：危险半径为3千米；爆破中心在B点。请画出危险区域。（2）一艘轮船距离A点6.5千米，这艘船在危险区域内吗？通过解决实际问题，学生进一步明确“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”。另外，在确定危险区域及分析轮船是否安全时，都是对“一中同长”的灵活应用，促进认知的内化。

可以说，李老师创设的问题情境具有现实性、问题性与挑战性，实属好材料。第二个问题反馈时发现，绝大部分学生都没有画出相应的圆，只是找到某个点。因为时间关系，李老师只请一个学生说明理由，然后快速呈现课件中的圆就过了。能否请多个学生汇报找到轮船所在的位置，并且标注出距A点6.5千米的线段，随着一个一个点、一条一条半径的出现，可能会启发更多的学生想到“圆”，可能更有助于学生理解“同一平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，就是圆”呢？

（作者单位：浙江杭州市江干区教育发展研究院）