“证明”与中考

宋新阳

同学们，本章的学习对于数学体系的形成是非常重要的，因而各地的中考对它是很“关照”的.现列举数例，大家共享：

一、 考查命题或命题真假的判断

1. （2015·长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）.

A. 六边形的内角和为360度

B. 多边形的外角和与边数有关

C. 矩形的对角线互相垂直

D. 三角形两边之和大于第三边

【分析】根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可.

解：A. 六边形的内角和为720°，错误；

B. 多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；

C. 矩形的对角线相等，错误；

D. 三角形的两边之和大于第三边，正确.

故选D.

【点评】本题考查命题的真假性，是易错题. 注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握.（矩形的性质八年级将详细地进行学习）

2. （2015·庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中是真命题的是__________. （填写所有真命题的序号）

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确.

故答案为：①②④.

【点评】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫作假命题，难度适中.

二、 考查平行线的性质和判定

1. （2015·聊城）直线a、b、c、d的位置如图1所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（ ）.

A. 58° B. 70° C. 110° D. 116°

【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答.

解：如图2，∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，

即∠5=180°-∠3=180°-70°=110°，

∴∠4=∠5=110°，故选C.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.

2. （2015·泰州）如图3，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=______.

【分析】先根据平行线的性质，由l1∥l2得∠3=∠1=40°，再根据平行线的判定，由∠α=∠β得AB∥CD，然后根据平行线的性质得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°代入计算即可.

解：如图4，延长AE交l2于B，

∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，

∵∠α=∠β，∴AB∥CD，

∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°. 故答案为140°.

【点评】本题考查了平行线的性质和平行线的判定.定理1：两直线平行，同位角相等. 定理2：两直线平行，同旁内角互补. 定理3：两直线平行，内错角相等. 定理4：内错角相等，两直线平行.

三、 考查平行线的性质、三角形内角和与垂直等知识的综合应用

1. （2015·常州）如图5，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（ ）.

A. 70° B. 60°

C. 50° D. 40°

【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠DCB=∠ABC.

由垂直定义得∠DCB+∠ECD=90°，从而∠ECD=∠ECB-∠DCB，

可得出答案.

解：∵CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB=40°，

∵BC⊥AE，∴∠ECB=90°，

∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=90°-40°=50°，故选C.

本题主要考查了平行线的性质与垂直的定义

2. （2015·宜昌）如图6，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）.

A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°

【分析】先根据直角三角形的性质求出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论.

解：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°.

∵∠1=50°，∴∠D=90°-50°=40°.

∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°.故选C.

【点评】本题考查的是平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余.

四、 考查平行线的知识与简单实物的结合（如直角三角形，长方形）

1. （2015·湖北）如图7，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上. 如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）.

A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°

【分析】根据三角形外角性质可得∠3=30°+∠1，由于平行线的性质即可得到∠2=∠3=60°，即可解答.

解：如图8，

∵∠3=∠1+30°，∵AB∥CD，

∴∠2=∠3=60°，

∴∠1=∠3-30°=60°-30°=30°.

故选D.

【点评】本题考查了平行线的性质. 也利用了三角形外角性质和垂直的定义.

2. （2015·盐城）一块等腰直角三角板与一把直尺如图9放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）.

A. 85° B. 75° C. 60° D. 45°

【分析】首先根据∠1=60°，判断出∠3=∠1=60°，进而求出∠4的度数；然后根据对顶角相等，求出∠5的度数，再根据∠2=∠5+∠6，求出∠2的度数为多少即可.

解：如图10，∵∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠4=90°-60°=30°，

∵∠5=∠4，∴∠5=30°，

∴∠2=∠5+∠6=30°+45°=75°.

故选：B.

【点评】此题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的性质和对等腰直角三角板的认识，较为综合.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）