学好“证明”应该掌握的几点知识

颜世波

学习本章知识，让我们经历了观察、实验、归纳、类比等数学活动，探索了基本图形的一些性质，在探索性质的同时，我们又学会了推理，下面是本章学习的一些知识点，让我们来共同认识一下吧！

一、 定义与命题

1. 定义

对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义.

【注解】定义的规则：（1） 应相称，即定义概念和定义概念外延相等；（2） 不循环；（3） 一般不是否定判断；（4） 应清楚确切.

例1 下列属于定义的是（ ）.

A. 两点之间线段最短

B. 两直线平行，同位角相等

C. 三边相等或三角相等的三角形为等边三角形

D. 等角的余角相等

【分析】A、B、D选项不是在进行描述或做出规定，而是对一件事做出了一个判断，因此A、B、D错误；C选项对等边三角形做出了明确的规定，是定义，故选C.

【答案】C.

【点评】判断一句话是不是定义，主要依据定义的含义.

2. 命题

（1） 对某一件事情做出判断的句子叫作命题.

【注解】①定义是命题，命题不一定是定义；②判断一句话是不是命题，要看是否能进行判断，即是肯定还是否定，命题必须是一个完整的带有判断性语句的句子，通常是陈述句，而疑问句和命令性语句都不是命题；③错误的判断也是一个命题.

例2 下列语句中，属于命题的是（ ）.

A. 这个问题 B. 这支笔是黑色的

C. 一定相等 D. 画一条线段

【分析】能够判断一件事情的句子就是命题，句子中往往含有“是”“不是”“能”“不能”等表示判断的词语.没有对一件事情做出判断的句子就不是命题.

【答案】B.

【点评】看这句话是不是命题的关键就是：是不是对一件事情做出判断.

（2） 在数学中命题一般由条件和结论两部分组成.

【注解】①每个命题都是由条件和结论两部分组成的，命题常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论；②命题的条件部分是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.

例3 把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________.

【分析】分清楚这句话中的条件和结论即可.条件是：这两个角是对顶角，结论是：这两个角相等.

【答案】如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.

【点评】一个命题要改写成“如果……，那么……”的形式，务必要弄清楚命题中的条件和结论.

3. 真命题、假命题

（1） 真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫真命题.

（2） 假命题：如果条件成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题.

【注解】（1） 如果题设成立，真命题的判断总是正确的；而假命题的判断不能保证总是正确的.

（2） 要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了；而要说明一个命题是真命题，无论验证多少个例子，都无法保证这个命题的正确性，要说明它的正确性，就需要说理论证的过程，说理论证过程中的每一步都要有依据，前一步的条件与后一步的结论必须吻合，且推理要严密，要有逻辑性.

例4 下列命题是假命题的是 （ ）.

A. 若x

B. 单项式-的系数是-4

C. 若x-1+（y-3）2=0，则x=1，y=3

D. 平移不改变图形的形状和大小

【分析】B的系数是-，所以是错误的.

【答案】B.

【点评】本题涉及很多知识，如果有的知识点记得不是很全面，可以用排除法来进行选择，但是这四个选项的知识都需要熟练掌握.

二、 证明

1. 事件的判断

观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验得到的结论常常是正确的，但是仅凭观察、操作、实验得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的.

【注解】（1） 通过观察、操作、实验探索发现的一些结论不一定正确.

（2） 数学中探索发现的结论如果是错误的，只要举一个例子说明它是假的即可；如果探索的结论是正确的，那么需要加以证明或用已有的数学工具进行具体的测量.

例5 ①图1中，直线AB和直线CD平行吗？请你先观察，再用推平行线的方法验证一下.

②如图2，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪个大些？

【分析】要完成本题，不能只靠目测，要使用一些测量工具来进行验证，①中可以利用直尺平移来验证两条直线是否平行；②中用直尺和圆规来验证即可.

【答案】①图1中通过观察，直线AB与直线CD不平行，但是通过平推平行线的方法验证发现：AB∥CD. ②如图2中直觉是大圆内的10个小圆的周长之和小于另一个大圆内的2个小圆的周长之和，但是通过测量发现两者周长之和一样大.

【点评】由于视觉上的差异可能会产生偏差，所以做这类试题先不要急于下结论，而是应该先利用直尺等工具进行实际测量，然后再下结论，这样才能保证答案的正确性.

2. 证明与定理

（1） 证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫作证明.

【注解】证明是说明真命题的说理过程，证明过程必须做到言必有据. 证明过程通常包含几个推理过程，每个推理应包括因、果和由因得果的依据. 其中，“因”是已知事项；“果”是推得的结论，“由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等.

例6 已知：如图3，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，GM平分∠EGB，HN平分∠EHD.

求证：GM∥HN.

【分析】本题要证明GM∥HN，就要利用证明平行线的方法，即“同位角相等，两直线平行”来证明.

证明：∵AB∥CD（已知），

∴∠EGB=∠GHD（两直线平行，同位角相等），

而GM平分∠EGB，HN平分∠EHD（已知），

∴∠EGM=∠EGB，∠GHN=∠EHD（角平分线定义），

∴∠EGM=∠GHN（等量代换），

∴GM∥HN（同位角相等，两直线平行）.

【点评】本题通过证明两条直线平行，充分说明了证明过程中要做到言必有据.

（2） 定理：经过证明的真命题称为定理.

【注解】①定理也可以作为推理的依据；②定理是真命题，但真命题不一定是定理，也可能是基本事实，如“两点确定一条直线”等；③判断一个命题是否为真命题，往往需要经过推理证明，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.

例7 下列命题：①三角形的内角和等于180°；②两点确定一条直线；③两直线平行，同位角相等；④相等的角是直角.其中是定理的有（ ）.

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【分析】命题①是三角形内角和定理；命题②是基本事实；命题③是平行线的性质定理；命题④是假命题.因此定理有2个：命题①③，故选C.

【答案】C.

【点评】定理必须满足两个条件：（1） 真命题；（2） 是通过证明推理是真的.一些结论虽然也是真的，但是是大家公认的，不需要证明的一些描述则不能算是定理.

3. 证明与图形有关的命题的一般步骤

（1） 根据题意，画出图形；

（2） 根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；

（3） 写出证明过程.

【注解】①证明过程的基本结构是：“∵……（ ），∴……（ ）. ”其中“∵”后面写推理的因，“∴”后面写推理的果，“（ ）”里面写出条件的由来或由因到果的依据理由. 由此可见，每一步推理应包括“因”“果”“理由”三部分，而且因果关系必须合理. 证明过程就是由这一步步“推理”构成的. ②推理的表述形式有三种：一因一果型；一因多果型；多因一果型. 特别是多因一果型，必须要多“因”齐全才能得出“果”. 证明就是找“果”“因”之间的“逻辑链”，一要言必有据，二要书写规范.

例8 如何从基本事实出发，证明“两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行”.

已知：如图4，

证明：AB∥CD（已知），

∴∠BMF=∠CHE（ ），

又∵MN，HG分别平分∠BMF，∠CHE（ ），

∴∠1=∠BMF，∠2=∠CHE （ ），

∴∠1=∠2（ ），

∵∠1=∠2（已证），

∴MN∥HG（ ）.

【分析】已知事项就是条件部分，而求证就是结论部分.分清楚后再完成证明过程.

【答案】已知：如图，AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为M、H，MN、HG分别为∠BMF、∠CHE的角平分线.求证：MN∥HG.

证明：AB∥CD（已知），

∴∠BMF=∠CHE（两直线平行，内错角相等），

又∵MN，HG分别平分∠BMF，∠CHE（已知），

∴∠1=∠BMF，∠2=∠CHE（角平分线定义），

∴∠1=∠2（等量代换），

∵∠1=∠2（已证），

∴MN∥HG（内错角相等，两直线平行）.

【点评】要完成本题就应该：（1） 根据题意，画出图形；（2） 根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3） 写出证明过程.

4. 三角形外角的性质

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【注解】“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是三角形内角和定理的推论.

它为证明一角等于两角的和提供了重要依据.

例9 如图5，点D在△ABC边BC上，且∠ADC=75°，∠1=∠B，求∠BAC的度数.

【分析】本题是利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”来计算的.

解：∵∠ADC=∠B+∠BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∠1=∠B（已知），

∴∠ADC=∠1+∠BAD（等量代换），即∠ADC=∠BAC.

∵∠ADC=75°（已知），

∴∠BAC=75°（等量代换）.

【点评】解决此类问题的关键是正确判断出角之间的位置关系，从而运用推论来做.

三、 互逆命题

1. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 其中一个命题是另一个命题的逆命题.

【注解】（1） 任何命题都有逆命题，互逆命题是成对出现的，是相互的.（2） 写逆命题前必须找准原命题的条件和结论，然后互换条件和结论.（3） 原命题的真假性与逆命题的真假性之间没有必然联系，它们的真假性是孤立的.

例10 写出下列命题的逆命题.

（1） 如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2） 如果ab=0，那么a=0，b=0；

（3） 一个角的补角一定大于这个角.

【分析】第（1）（2）两个命题的条件和结论比较容易找出，互换一下条件和结论就得到原命题的逆命题；第（3）个命题条件是：一个角的补角，结论是：这个角的补角一定大于这个角，互换条件和结论时，注意语句的通顺.

【答案】（1） 逆命题是：如果两个角是对顶角，那么它们相等.

（2） 逆命题是：如果a=0，b=0，那么ab=0.

（3） 逆命题是：如果一个角大于另一个角，那么它一定是这个角的补角.

【点评】在写一个命题的逆命题时，可以先把这个命题用“如果……那么……”的形式表示出来，然后把“那么……”放到前面，把“那么”变成“如果”，把“如果……”变成“那么……”放到后面.

2. 互逆命题的真假性

数学中，判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可.要说明一个命题是真命题，就必须用推理论证的方法，而不能只凭一个例子.

【注解】（1） 反例的特点：它具备命题的条件，而不具备命题的结论；

（2） 要说明一个命题是真命题，根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证，并完成证明过程.

例11 写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形；

（2） 三角形的外角和是360°；

（3） 含有一个未知数的整式方程是一元一次方程.

【分析】三个命题中，命题（3）是假命题，因未强调未知数的次数是1；命题（2）的逆命题是假命题，因多边形的外角和都是360°.

【答案】命题（1）的逆命题是：等腰三角形有两条边相等.原命题与逆命题均是真命题.

命题（2）的逆命题是：外角和是360°的是三角形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.

命题（3）的逆命题是：一元一次方程是含有一个未知数的整式方程.原命题是假命题，而逆命题是真命题.

【点评】一个原命题的真假性与逆命题的真假性不存在必然联系.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）