《函数y=Asin（ωx+φ）的图象（1）》教学实录

【课例导读】

高境界的数学教学应基于思维发展，包括重视数学知识的内在联系，凸现核心知识的价值，数学规律的形成和思维逐步深入的过程，数学思想方法的提炼以及数学理性精神的体验等方面。而优质的数学思维又集中表现在如何有效地提出问题与解决问题的过程中，因而我们的数学活动可以以问题为研究的起点，以问题为研究的主线，并以问题的解决作为最终的教学目标。具体到这节课上，王荣鑫老师采用了“问题引领，自主建构”的教学方式，合理优化了问题的情境，有效凸显了问题的作用，并让学生在对问题的探究体验中，掌握科学的研究方法，提升了数学的思维品质，这种带有研究意味的教学方法与思路给我们的数学教学带来了启发。

【执教者简介】

王荣鑫，江苏省邗江中学数学教师，扬州市中青年教学骨干，曾获江苏省高中青年数学教师优秀课评比二等奖、扬州市优质课评比一等奖、扬州市基本功大赛一等奖、扬州市骨干教师展示一等奖等荣誉，有多篇论文在学术期刊上发表。

【课例呈现】

一、呈现背景、创设情境

（课前投影展示欢乐世界摩天轮动态画面）

师：同学们，请看大屏幕，摩天轮上的每一点随着时间的推移在周而复始地运动，从中我们可以抽象出如下数学模型。

（PPT动画演示点P绕圆心做匀速圆周运动）

师：大家回忆一下，我们如何将单位圆上的任意一点P的位置表示出来？

生：通常是建立直角坐标系，用坐标来表示点P位置。

师：我们建立如图所示的平面直角坐标系，圆O的半径为A，P0为圆O上的一点，以射线OP0为终边的角为φ，P点从P0出发沿圆O逆时针运动，P点每秒转过的弧度为ω，求x秒后，P点的纵坐标y。

（学生经过计算，得到结果）

生：y=Asin（ωx+φ）。

二、启发引导、提出问题

师：函数y=Asin（ωx+φ）刻画了P点的运动规律，今天我们一起研究这个新函数的图象。你觉得这个函数与学过的哪个函数有联系呢？

生：y=sinx。

师：你为什么觉得这两个函数有联系呢？

生：这两个函数都是刻画周期运动的函数，另外，我觉得这两个函数的解析式很像，都有正弦符号，我猜他们之间应该有联系吧。

师：我们今天就来研究函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象与y=sinx图象的关系。

问题1：函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象与y=sinx的图象是什么关系？

三、自主建构，解决问题

生：我们已经学习过正弦曲线y=sinx的图象，可以作出y=Asin（ωx+φ）的图象，然后寻找图象之间的关系。

师：你打算如何作出y=Asin（ωx+φ）的图象？

生：用五点作图法。

师：观察这两个函数的解析式，思考它与正弦曲线的关系，你还能有别的想法吗？

生：可由y=sinx的图象经过图象变换得到。

师：为什么这么想？

生：当A=1、ω=1、φ=0时，y=Asin（ωx+φ）就是y=sinx，y=sinx是y=Asin（ωx+φ）的一个特例，我想是不是能由y=sinx图象变换得到y=Asin（ωx+φ）的图象。

师：在由y=sinx图象变换得到y=Asin（ωx+φ）图象的过程中，哪几个参数对函数图象有影响？

生：A、ω、φ。

师：如何研究A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）图象的影响？

（学生独立思考）

生：先固定其中的两个，研究另外一个参数对图象的影响。

师：具体的研究的计划呢？可以继续思考一下，如何“固定”？

（独立思考）

生：我们可以让A=1、ω=1、φ=0中的两个成立，研究另外一个参数对图象的影响。

师：下面分别研究y=sin（x+φ）、y=Asinx、y=sinωx与y=sinx图象的关系。你能设计一个方案，探究参数对图象的影响？大家可以进行小组讨论。

（分组讨论，交流成果）

生：我们可以举几个具体的例子，让A、ω、φ取特殊的值，看看他们分别与y=sinx图象的关系，找找有什么规律。

师：对，我们可以从具体的例子入手，探求一般性的规律，这体现了从特殊到一般的思想。

问题2：函数y=sin（x+φ）的图象与y=sinx图象是什么关系？

（学生自由选取φ为不同特殊值，在坐标纸上作图，然后独立探寻图象之间的关系）

（实物投影学生画图，学生叙述研究结论）

生：取φ=1，通过作图发现y=sin（x+1）可以看成由y=sinx图象向左平移1个单位得到。

师：图象向左的意思是什么？

生：图象是由点构成的，y=sin（x+1）可以看成由y=sinx图象上每一点向左平移1个单位得到。

师：你能得到一般性的结论吗？

生：y=sin（x+φ）的图象可以看成y=sinx图象上所有点纵坐标不变，向左/右平移了φ个单位而得到。

（几何画板动态演示，φ可以取任意值）

师：经几何画板检验，结论确具一般性。

问题3：函数y=Asinx（A>0且A≠1）的图象与y=sinx图象是什么关系？

（学生任选A为不同特殊值，在坐标纸上作图，然后独立探寻图象之间的关系，归纳得到一般性结论，然后在小组内讨论，学生用几何画板进行验证，最终达成共识）

生：由y=sinx图象变换为y=Asinx（A>0且A≠1）的图象，就是将y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍即可。

师：大家从特殊到一般，归纳猜想出y=Asinx、y=sin（x+φ）与y=sinx图象的关系。我们还可以用什么方法来研究？

生：还可用刚学过的必修一函数部分图象变换的知识解决。我们研究过y=2x与y=x图象之间的关系，y=（x+1）2与y=x2图象之间的关系，第一个是函数图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，第二个是图象向左平移1个单位。这与我们刚才得到的结论是完全一致的。

师：对，刚才我们使用两种方案研究y=sin（x+φ）、y=Asinx与y=sinx图象的关系，第一种方法是从特殊函数的变换中归纳出一般性结论，第二种方法是类比之前所学的函数图象变换的方法得到的结论。通过几何画板的演示，我们也验证了同学们所得的结论是合理的。

师：那么，以上的几种函数图象变换过程中有什么不变的性质？

（教师用几何画板辅助演示）

生：函数的周期性。

问题4：函数y=sinωx（ω>0且ω≠1）的图象与y=sinx图象的关系又是什么呢？

师：我们当然可以用刚才特殊到一般的方法加以解决。你能不能应用所学y=Asinx与y=sinx图象关系的知识，类比出y=sinωx与y=sinx的关系呢？

（分组讨论，交流展示）

生：将y=Asinx的表达式改写为y=sinx，并令y=Y，可得Y=sinx，Y=AY，就是说，y=Asinx的图象是将y=sinx图象上点的纵坐标乘以A得到（横坐标不变）。因此，从y=sinx变换为y=Asinx，是将y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍。

生：对于y=sinωx，令X=ωx，可得y=sinX，x=，就是说，y=Asinx（A>0且A≠1）的图象就是将y=sinX的图象的横坐标乘以得到（纵坐标不变）。

师：对，我们还可以进一步从点的变换角度来严谨的推理出这个结论。

师：设函数y=sinx图象上有一点P（x0，y0），则y0=sinx0，变换以后为P'（，y0），显然P'在y=sinωx上，同理反之也成立，因此，y=sinx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的就得到了y=sinωx的图象。

师：这说明y=Asinx（A>0且A≠1）、y=sinωx（ω>0且ω≠1）两个函数的图象，就是分别将y=sinx图象在纵向、横向两个方向进行的伸缩变换。其本质就是y=sinx图象上点的变化，一个是横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，后一个是纵坐标不变，横坐标变为原来的。

师：总结在以上研究A、ω、φ对图象影响的过程中，函数有什么性质是不变的呢？

生：函数的周期在变化，但仍然是周期函数。

四、操练拓展、反馈纠正

师：刚才我们共同研究了y=Asin（ωx+φ）图象中A、ω、φ对图象的影响，下面大家尝试独立解决下列问题。

问题5：为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需将函数y=sin2x）图象上所有的点向左平移多少个单位长度？

生：向左平移1个单位长度。

师：有同学有不同的看法的，请阐述自己的看法。

生：应该是向左平移个单位长度。

师：为什么不是1？

生：因为图象的变换本质是点的变换，这里左右平移，是点的横坐标在变化，所以应该是看x变化了多少。

师：你能给出一般性的结论吗？

生：一般地，函数y=sin（ωx+φ）（ω>0，ω≠0）的图象是将函数y=sin（ωx）的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移个单位长度而得到。

师：经过研究我们都清楚了，由y=sinx变换到函数y=Asin（ωx+φ）的图象，是由A、ω、φ决定的，从这个角度去思考，由y=sinx变换而得y=Asin（ωx+φ）的图象，路径共有几条？

生：六条。

师：很好，大家课后可以思考一下这几种路径是否可行？并总结出比较容易出问题的地方，下节课我们接着进行研究。

五、归纳反思、总结提高

问题6：通过本节课的学习，你有哪些感受与同学们分享？

（学生归纳总结，教师点评）

师：在研究y=Asin（ωx+φ）图象与y=sinx图象关系的过程中，我们知道了从特殊到一般的数学思想，知道了如何通过观察、猜想、验证的方法来研究新问题，进一步了解如何将一个复杂的问题进行分解、转化，然后用已有的知识去加以解决。

（王荣鑫，江苏省邗江中学，225009）

责任编辑：赵赟