知识与能力并驾 思想与经验齐驱——“一元二次方程的解法”教学案例与反思

◎胡 珺

(南京市中华中学，南京 秦淮 210006)

知识与能力并驾 思想与经验齐驱
——“一元二次方程的解法”教学案例与反思

◎胡 珺

(南京市中华中学，南京 秦淮 210006)

一、问题提出

“一元二次方程的解法”是“一元二次方程”这一章的核心内容.从教材上看，本节内容分别研究了“直接开平方法”“配方法”“公式法”以及“因式分解法”.

在此之前学生已经掌握了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的解法，其中二元一次方程组和分式方程都是通过适当的方法转化为一元一次方程求解的.如果按照教材原有的设计组织教学，学生可以按部就班地掌握这几种解法，但这些解法中蕴含的本质不一定能很好地体现出来.笔者思考：对于基础比较好的班级，是否能以此为契机，通过对教材的整合，引导学生自己去探究，发现一元二次方程的解法中所蕴含的本质思想，并最终将所学的方程融会贯通，建立相应的知识网络呢？

二、问题解决

选择适当的标准对一元二次方程进行分类，让学生对不同“类型”的方程进行探究，将“直接开平方法”“配方法”“因式分解法”自然地整合到一起.

(一)教学案例

1.情境创设

问题1：我们已经学过哪些方程(组)？

生：学过一元一次方程、二元一次方程组还有分式方程.

追问：那我们是如何解这些方程的？

师生活动：学生回答并相互补充，教师帮助其进行总结：二元一次方程组通过消元法转化为一元一次方程，分式方程通过去分母转化为一元一次方程.

【设计意图：通过回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的解法，让学生感受到二元一次方程组和分式方程都可以通过适当的方法转化为一元一次方程加以解决，初步让学生体会解方程中的核心思想——转化思想，这时学生很容易产生猜想：一元二次方程也能通过这样的方法来求解吗？激发了学生的求知欲望.】

问题2：什么样的方程是一元二次方程？

生：一个方程如果可以整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这个方程就叫作一元二次方程.

追问1：为什么要强调“a≠0”？

追问2：规定b，c一定不为0吗？

追问3：根据b，c是否取零，能对一元二次方程进行分类吗？请每一类各举出一个具体的例子.

师生活动：学生回答并相互补充，教师板书：

①b=0，c=0，如2x2=0;②b=0，c≠0，如x2-9=0;

③b≠0，c=0，如x2-4x=0;④b≠0，c≠0，如x2+8x-2=0.

【设计意图：无论怎样的一元二次方程，经过化简、整理一定可以成为以上四种形式中的一种.这样分类以后，就给我们研究一元二次方程的解法提供了多个可以选择的切入点，为后面学生的自主探究做了必要的铺垫.】

2.探索活动

问题3：以上四个一元二次方程中你能解几个？

【设计意图：预设大部分学生能比较轻松地解①、②两个方程，而对③、④两个方程可以引导学生进行小组讨论、交流.教师在巡视过程中也可以发现学生在解题中暴露出来的问题.】

师生活动：

①2x2=0

解：x2=0，∴x=0.

【说明：这里暂时不讨论等根问题.】

②x2-9=0

解：x2=9.

x=±3,即x1=3，x2=-3.

③x2-4x=0

解：x2-4x+4=4,∴(x-2)2=4,∴x-2=±2.

即x-2=2或x-2=-2,∴x1=4，x2=0.

追问：为什么要在方程的两边加上4？

生：两边加上4以后方程的左边就可以配成完全平方式了.

④x2+8x-2=0.

解：x2+8x=2,x2+8x+16=2+16,

追问1：请比较上面①、②两个方程，它们有什么区别和联系呢？

师生活动：区别在于①中b=0，c=0；②中b=0，c≠0，但两个方程通过等式的基本性质都可以转化为x2=m的形式，然后两边直接开平方.

追问2：如果一个方程可以转化为x2=m的形式，m取任何实数，这个方程都有实数解吗？

生：只有m≥0时，方程才有解.

追问3：请比较上面③、④两个方程，它们有什么区别和联系呢？

师生活动：区别在于③中，b≠0，c=0；④中b≠0，c≠0，但通过在方程的左、右两边加上一个适当的数可以把方程左边化为一个完全平方式，最终将两个方程都转化为(x+k)2=m的形式.

追问4：加上的这个数是怎么确定下来的呢？

师生活动：学生分组进行讨论，互相补充并总结，根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2可以推出所加上的数应该是一次项系数一半的平方.

追问：再请同学回头思考一下x2-4x=0这个方程还有其他的解法吗？

生：移项得x2=4x，两边约去x，得x=4.

追问：这种解法正确吗？为什么比前面的方法少了一个解呢？

师生活动：让学生讨论后进行分析，该解法错误的原因是等式的两边约掉x的时候，没有讨论x是否为0，所以漏解了，如果对x是否为0进行分类讨论，也不失为一种解法.

生：对x2-4x=0的左边进行因式分解，得到x(x-4)=0，∴x=0或x-4=0,即x1=0，x2=4.

【设计意图：让学生体会一题多解和多题一解.】

3.归纳总结

师生活动：共同回顾以上几种一元二次方程的解法，总结这些方法的名称及步骤，教师板书.

①直接开平方法、②配方法、③因式分解法.

总结：这些方法都可以将一元二次方程转化为一元一次方程来解决，和前面所学的二元一次方程组以及分式方程的思想方法都是相通的.可以综合起来形成相应的知识网络.

4.思维拓展

问题4：解方程x3-x=0.

【设计意图：根据最近发展区原则，再次刺激学生的认知，感受到方程解法的核心思想——转化思想，学会思考如何将不熟悉的方程通过合适的方法转化为熟悉的方程.】

(二)设计说明

该教学设计以“转化思想”为灵魂，贯穿始终，引导学生对所学方程(组)的相关知识进行回顾、归纳、总结，使之结构化、系统化；通过对不同类型方程解法的关键步骤之间的比较，感悟在解方程(组)过程中所渗透的数学思想，建立知识网络，提高学生数学能力和素养；引导学生运用归纳总结出的思想方法解决新的问题，锻炼分析问题和解决问题的能力.

由于课时的限制，对于配方法的研究还不够深入，特别对于二次项系数不为1的情况，包括对公式法的研究也没有进行.这些内容将在下一课时完成.

三、问题反思

通过这次实践，笔者深深体会到教学设计时不必拘泥于课本，在不偏离教学本质的前提下，针对学生的实际情况，可以对教材的基本素材进行合理的调整，使之更契合学生的认知基础和教学情境.

本节内容中，原本需要3课时的“直接开平方法”“配方法”“因式分解法”用一节课的时间就完成了，虽然内容较多，但精心设计的问题串使难点得以突破.在课堂教学中，并没有因为“解方程”是操作技能问题而采取例题、模仿、训练的教学模式，坚持思维领先，探索前进的原则，将研究一元二次方程解法的过程设计为让学生“先实践，再深化认识”的过程，这样把探求解法的过程交给学生，在实践中提高了独立操作的能力，在归纳总结中加深对方程的理解和认识，这样既提升学生独立学习的信心，也提高了学生解方程的技能，体现了以提高学生数学素养为核心的数学教育理念.