勇于质疑 善于探索

刘创林

一、问题的背景历年高考试题无论是全国卷还是各省市试卷之中的圆锥曲线题目形式多样，既有小题又有大题；题目分值高，占试卷总分比例大；难度很大，易于区分学生能力档次.因此，总是引起广大师生关注.很多优秀学生对圆锥曲线题目有着浓厚的兴趣，一方面他们喜欢挑战难题，提升自己的思维能力和水平，另一方面是希望提高解答圆锥曲线题目能力，期待在高考有所突破，达到提升总分目标；成绩普通的学生对圆锥曲线的题目普遍存在畏难情绪.本文对2013年全国高考浙江理科卷的第15题进行深入细致的剖析，给出研究圆锥曲线的一般方法和技巧，对学生解决相关问题具有示范作用.题目中指明直线和抛物线有两个交点A.B，并且两个交点存在中点Q.先通过运算推理，说明不存在两个交点，再分析探讨题目，接着从两个方面改造题目，进一步研究直线与抛物线的位置关系，最后推导出一个较好的结论.

二、问题的探究

（一）浙江高考试题的提出

设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2，则直线l的斜率等于多少？

（二）浙江高考试题的分析

首先设过点P（-1，0）的直线的方程：y=k（x+1）y=k（x+1）.

联立直线方程和抛物线方程：y=k（x+1），y2=4x.

化简整理得：k2x2+2（k2-2）x+k2=0.（1）

易知：k≠0.

由（1）式可得：Δ=4（k2-2）2-4k4=16（1-k2）.（2）

設直线l与抛物线C的交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为Q（x0，y0）.

由题意易知：y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）.

结合（2）式和韦达定理可知：x1+x2=2（2-k2）k2.

所以y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）=k2（2-k2）k2+2=4k.

由中点坐标公式可知：x0=x1+x22=2-k2k2，

y0=y1+y22=2k.

所以点Q的坐标为Q2-k2k2，2k.

由抛物线C：y2=4x易知焦点坐标为F（1，0）.

由两点间距离公式可知：|QP|=2-k2k22+2k-02=2.

化简整理，得：k2=1，即k=±1.

将k=1带入Δ=16（1-k2）=0，即直线与抛物线方程相切.

可知：直线与抛物线相切，切点坐标为（1，2）.这显然与题设中有两个交点相矛盾.

当k=-1时结果相同，推出矛盾.

（三）浙江高考试题的改造

由Δ=16（1-k2）可知：

当-1

当k=±1时，直线与抛物线相切，有且只有一个交点.因此，可以从以下两个方面进行改造：

1.直线与抛物线有两个交点

首先取k=22∈-1，1，再代入Q2-k2k2，2k，得Q（3，22）由两点间距离公式可求：

QF=（3-1）2+22-02=23.

至此，浙江高考题可以做如下改造：

设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点.若|FQ|=23，则直线l的斜率等于多少？

由前面分析易知k=±22.当然在改造过程中还可以选取（0，1）之中的其他数值.

2.直线与抛物线相切

当直线l与抛物线C相切时，浙江高考题可以做如下改造：设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l与抛物线C于点Q时，则直线l的斜率等于多少？

由前面分析知直线l与抛物线C于A，B相切与点Q时k=±1，|FQ|=2.

在平面直角坐标系中存在这样数量关系：OP=OF=|FQ|2=p2（p为抛物线的焦距）.

顺着这个发现，接着修改题目数据.修改如下：

设F为抛物线C：y2=8x的焦点，过点P-2，0的直线l与抛物线C于点Q时，则直线l的斜率等于多少？经过推理演算可以得到：k=±1，OP=OF=|FQ|2=p2（p为抛物线的焦距）.

至此，论文结束.