复合函数的单调性

邹少伟

复合函数单调性在高中数学中应用广泛，但现行教材中却没有推证，有些辅助刊物中的证明又过于繁锁，大多数的教学参考书也只是给出结论而已，其实下面的推导还是容易接受的.

首先给出函数单调性的一个等价定义：设D是函数y=f（x）定义域上的一个子区间，对于任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，都有：（x1-x2）（y1-y2）>0（或<0），其中y1=f（x1），y2=f（x2），我们就称y=f（x）在D上严格单调递增（或递减），根据函数单调性的定义容易验证该结论成立，这里证明从略.从此定义可知，函数值对应增量和自变量增量同号为增函数，异号为减函数；反之亦然.

注：上述定义中，如果存在当x1≠x2时y1=y2，则y=f（x）在D上不是严格单调，需要把D细分.

下面我们来证明复合函数y=f（φ（x））的单调性，设复合函数由y=f（u）和u=φ（x）复合而成，令u1=φ（x1），u2=φ（x2），y1=f（u1），y2=f（u2）.

（1）如果内外层函数单调性相同，则（x1-x2）（u1-u2）和（u1-u2）（y1-y2）同号，且都不为0，所以（x1-x2）（u1-u2）2（y1-y2）>0，又（u1-u2）2>0则（x1-x2）（y1-y2）>0故复合函数单调递增.

（2）如果内外层函数单调性相异，则（x1-x2）（u1-u2）和（u1-u2）（y1-y2）异号，且都不为0，所以（x1-x2）（u1-u2）2（y1-y2）<0，又（u1-u2）2>0，则（x1-x2）（y1-y2）<0，故复合函数单调递减.

最后让我们看几个应用的实例：

例1 求函数y=x4-3x2+2的单调区间.

解 令u=x2则y=u2-3u+2，原函数由它们复合而成.内层单调性分界点x=0，外层单调性分界点u=32.由x2=32得x=±62.

当x<-62时，x2>32，内层减，外层增，原函数递减；

当-62≤x<0时，x2≤32，内层减，外层减，原函数递增；

當0≤x<62时，x2<32，内层增，外层减，原函数递减；

当x≥62时，x2≥32，内层增，外层增，原函数递增.

故函数递增区间有-62，0和62，+∞，递减区间有-∞，-62和0，62.

注：对复合函数的单调性，同学们要特别注意内外层区间的对应关系.

例2 已知a>0且a≠1，试讨论函数f（x）=ax2+6x+17的单调性.

解 令内层u=x2+6x+17，则外层为f（u）=au.内层在（-∞，-3]递减，在（-3，+∞）递增；外层当a>1时递增，当01时，在（-∞，-3]递减，在（-3，+∞）递增；

当0

例3 若函数y= loga（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（ ）.

A.（0，1） B.（0，2） C.（1，2） D.（2，+∞）

解 因为a>0，则内层u=2-ax在[0，1]递减，又复合函数y=loga（2-ax）在[0，1]上是减函数，则外层y=logau是关于u的增函数，所以a>1；又2-ax>0在定义域上恒成立，且内层u=2-ax递减，故只需x=1处成立，则2-a>0，即a<2，所以1

注 讨论函数单调性，大家千万不要忽视函数的定义域.

从以上讨论可知，复合函数的单调性其实质还是变量增量符号的乘积运算（同号相乘得正，异号相乘得负），简单记为四个字“同（内外层单调性相同）增异（内外层单调性不同）减”.对于多层可类推，需要注意的是函数定义域和内外层的对应关系不能错漏.