论无穷大的性质

邢秀侠

摘要：本文详细讨论了无穷大的性质，对工科大学生深入理解无穷大并灵活应用其性质来求极限具有重要的意义。

关键词：极限；无穷大；无穷小；未定式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）16-0244-02

在高等数学课程中，极限是最基本的概念，而无穷小是最简单的极限，所以它的地位举足轻重，也正因此，在国内现行的高等数学教材中，关于无穷小的性质都做了充分的讨论。而关于无穷大，通常是简化处理，给了定义之后就利用无穷大与无穷小互为倒数的关系转化为关于无穷小的讨论了，因而都没给出详细的讨论。

在多年的高等数学课堂教学中，我们发现学生们虽然都知晓无穷大与无穷小的关系，但在实际求极限碰到无穷大量时多数情况总是无计可施，远不如处理无穷小量那么熟练，因为他们对无穷小的性质耳熟能详，但对无穷大的性质很不熟悉，更不知如何用了。众所周知，七类未定式求极限中有五类均与无穷大有关，无穷大在实际也中有非常重要的应用，比如在计算数学中常用同阶无穷大来描述算法的计算复杂度，因此无穷大的地位也是非常特殊而重要的。事实上，通过研究无穷大的性质来加深对无穷大的理解，对求极限以及无穷大的其他应用都是十分常重要的，因而对其给予充分的讨论是非常必要的。

与讨论无穷小量的性质类似，下面本文就尝试来尽可能详细地讨论无穷大量的性质，来看看关于无穷大量到底能给出哪些确定的结论。

首先，我们先给出无穷大量的阶的定义。

定义：（无穷大量阶的比较）设limf（x）=∞，limg（x）=∞.

（1）若lim =1，则称f（x）与g（x）是等价的无穷大。

（2）若lim =C≠0，则称f（x）与g（x）是同阶的无穷大。

（3）若lim =0，则称g（x）是f（x）的高阶无穷大，或称f（x）是g（x）的低阶无穷大。

注1：本文中出现的极限符号lim表示自变量的七种变化过程中的任意一种，同一条定义或性质中出现的极限符号lim均表示同一个自变量的变化过程，以下同。

下面，遵循由简单到复杂的原则，我们分类列举无穷大的性质，并对其中三条较复杂的性质给出严谨的证明。

一、关于四则运算的性质

（一）关于加减的性质

性质1：有限个同号无穷大相加、异号无穷大相减仍为无穷大。

性质2：无穷大加减有界变量仍为无穷大。

性质3：无穷大加减有极限的变量仍为无穷大。

性质4：一个无穷大与它的低阶无穷大之和与原无穷大等价。

（二）关于乘积的性质

性质5：有限个无穷大相乘仍为无穷大。

性质6：无穷大与极限非零的变量相乘仍为无穷大。

性质7：无穷大与绝对值有正下界的变量相乘仍为无穷大。

（三）关于商的性质

性质8：无穷大与非零无穷小的商仍为无穷大。

性质9：无穷大与极限非零的变量相除仍为无穷大。

性质10：无穷大与不等于零的有界变量相除仍为无穷大。

注意到由无穷小与无穷大之间的关系，容易知道性质5～7分别与性质8～10等价，性质1～3和性质5又比较简单，因此下面仅给出性质4、性质6和性质7的证明。

性质4：设limf（x）=∞，limg（x）=∞，且lim =0，则lim =1.

证明：利用极限的四则运算法则、等价无穷大和低阶无穷大的定义，得：

性质6：设limf（x）=∞，limg（x）=C≠0，则lim[f（x）

证明：注意到 = · ，两边同时取极限，利用无穷大的倒数是无穷小的结论及乘积、商的极限法则，得：

.

性质7：设limf（x）=∞，且存在δ>0，使得|g（x）|≥δ，则lim[f（x）g（x）]=∞.

证明：注意到| |≤ · ，利用无穷大的倒数是无穷小的结论以及无穷小比较定理，知上式左端为无穷小，再利用非零无穷小的倒数为无穷大，得lim[f（x）g（x）]=∞.证毕.

二、关于等价无穷大替换的性质

与等价无穷小替换定理类似，下面我们也给出相应的等价无穷大替换的性质。

性质11：设limf（x）=∞，limg（x）=∞，f（x）与 （x）等价，g（x）与 （x）等价，且lim 存在，则

证明：根据等价无穷大的定义和乘积的极限法则，得：

在求 型未定式的极限时，有个“同除以最高次幂”的技巧，有的教材上也称其为“无穷小因子析出法”。虽然是在求两个多项式的商的未定式的极限时引入的这个技巧，但其实使用这个技巧时应不拘泥于形式，也就是说如果是两个无理根式的商，或者是两个指数函数的商等其他形式，只要是 型未定式，都可以尝试利用个“同除以最高次幂”的技巧。可惜，好多学生往往意识不到这点。不过，当遇到类似的未定式求极限时，学生如果换成利用等价无穷大替换性质的话，则可以比较快地求出它们的极限。

例1： .

解：由性质4和性质11，得

例2： .

解：由性质4和性質11，得：

参考文献：

[1]范周田，张汉林.高等数学（上）[M].第2版.北京：机械工业出版社，2012.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]同济大学应用数学系.高等数学（上）[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002.