高等数学中的积分对称美

汪小梅 朱华 杨志鹏

摘 要 本文由一元函数奇偶性的定义和对称区间上“偶倍奇零”的结果，给出二元函数广义奇偶性的定义，并以理论推导和几何解释相结合的方式得到积分区域关于轴对称时的“偶倍奇零”，并进一步推广到关于轴对称，直线=对称，原点对称的二重积分以及三重积分，曲线积分，曲面积分，通过研究发现高等数学中的积分对称有一定的规律性。

关键词 奇偶性 对称性 积分

中图分类号：O13-4 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.019

Abstract The results of single variable function definition and symmetric interval "I times odd"， are binary function generalized parity definition， and by theoretical derivation and geometric interpretation combination get integral region on the X axis symmetry "even times odd"， and further extended to symmetric about the y-axis， the straight line y = x symmetry. Symmetry about the origin of the double integral and triple integral， curve integral， surface integral， through research found that the integral symmetry in higher mathematics has certain regularity.

Key words even and odd； symmetry； integral

宇宙中的许多事物都具有某种对称性，从古今中外的精美建筑，到巧夺天工的生活世界，无不显示出和谐优美的对称。在高等数学的领域里，对称也是一种美，这种美不仅体现在几何的外观形态上，还体现在其内在的规律上。

例如，定积分计算中的一个结论，

设 （）在[，]上连续，

①若 （）为偶函数，则 （） = 2 （）；

②若 （）为奇函数，则 （） = 0。

此结论成立必须要求两点：（1）积分区域[，]对称；（2）函数 （）必须具有奇偶性，而且当 （）为偶函数时就为两倍0到的积分，若为奇函数则结果为零，所以我们简称此结论为对称区间上的“偶倍奇零”。试想：如果将对称区间推广到对称区域，将一元函数推广到二元函数，那么二元函数在某对称区域上的二重积分是否也有类似的结论呢？如果有，二元函数的奇偶性又将如何定义呢？

1 二元函数广义奇偶性的定义

由一元函数的奇偶性定义知道，实际上是指一维空间中，关于原点对称的任意两点处的函数值如果相等就说明 （）是偶函数，互为相反数就为奇函数。同理，在二维空间中，我们尝试给出二元函数在对称区域上广义奇偶性的定义。为了叙述的方便，我们统一称为奇函数或者偶函数。此定义是相对于对称区域而言，要判断二元函数在该对称区域上的奇偶性，需要注意两点：（1）根据区域的对称性，寻找相互对称的任意两点和；（2）判断这两点处的函数值关系，相等则为该对称区域上的偶函数，相反则为该对称区域上的奇函数。例如：积分区域关于轴对称时，首先找出关于轴对称任意两点的坐标表达式，设任意（），其关于轴对称的点为（）；第二步判断他们的函数值关系，最后根据函数值关系判断奇偶性。类似地，我们也可以判定其他情形对称区域内二元函数的奇偶性的定义，于是二元函数广义奇偶性的定义为：

如果二元函数 = （）的定义域是一个对称区域（关于轴、轴、直线 = 、原点对称），设HO，其对称点为，若恒有 （） = （）（ （） = （））

则称 = （）是该对称区域上广义的奇（偶）函数。

例1 判断 （） = + 在关于原点对称的区域上的奇偶性。

解：设任意一点 （），则其关于原点对称的点为（），即 （） = （） = + ，而 （） = （） = + 。

很显然 （） = （），所以 + 是关于原点对称区域内的奇函数。

2 各类对称区域（区间）上积分的化简

2.1 积分区域关于轴对称时的二重积分

以型积分区域为例，首先把二重积分化为先对后对的积分的二次积分，而且积分限是从到、从到，观察内层积分，对积分时需要把看做常数，也就是说 （）实际上是以为自变量的一元函数，而且积分限对称，根据定积分在对称区间上的偶倍奇零得到启示，若被积函数具有奇偶性，则可以进一步化简。

（1）当 （）关于为奇函数，即 （） ≡ （），实际上这个等式的成立，也就是 （）在内为奇函数的定义，按照偶倍奇零的原则可得这个定积分结果为零，因此整个积分为零；

（2）当被积函数 （）关于为偶函数，即 （）≡ （），这也说明 （）在内为偶函数。则内层积分等于2倍 （）从0到的定积分，然后再对取从到的积分，把2提到前面去，所以，该二次积分实际上就是1上的二重积分，所以结果为2倍1上的二重积分。综合以上两种情况可得：

若积分区域关于轴对称，

其中1 = {（）∣≥0}是的上半部分。

此结论与我们前面学习过定积分在对称区间上的偶倍奇零有相似之处，首先，结论成立仍然需要两个条件：（1）积分区域关于轴对称；（2）被积函数在内具有奇偶性。在使用此结论过程中这两个条件必须同时兼顾缺一不可。并且当被积函数为该对称区域上的奇函数时上二重积分为零，被积函数为偶函数时结果为两倍1上的积分，所以我们把此结论简称为对称区域上的“偶倍奇零”。

下面再通过直观的几何解释进一步说明这个结论：首先如果积分区域关于轴对称也就是说内任意一点 （），其关于轴对称的点也一定在内，如果 （）≡ （）也就是说关于轴对称任意两点处的函数值互为相反数，根据二重积分的几何意义可得 （）在上的二重积分为零。同样的道理，当 （）≡ （），也就是说关于轴对称的任意两点处的函数值相等，由图形可得 （）在上的二重积分就等于 （）在1上二重积分的2倍。

通过以上的理论推导和几何解释相结合的方式可得积分区域关于轴对称时偶倍奇零。

对于其余的三种情形，当积分区域关于轴对称，=对称以及原点对称是否也具有偶倍奇零的结论？（启发）事实证明，只要积分区域具有某种对称性，被积函数在该对称区域内具有相应的奇偶性，就一定可以得到偶倍奇零。

2.2 积分区域关于轴、直线=、原点对称时的二重积分

若积分区域关于轴、直线 = 、原点对称，设HO，其对称点为

其中1表示位于对称轴（点）一侧的部分。

该结论的成立一定要求积分区域对称，被积函数具有相应的奇偶性，而且为奇函数时结果为零，偶函数时结果为2倍1上的二重积分，因此我们简称利用对称性计算二重积分的原则为对称区域上的偶倍奇零。

例2 计算（∣∣+∣∣+ + ）

解：首先画出积分区域的图形，这个图形比较特殊是由四条线围成的菱形区域，为了叙述方便这四个部分按象限分别记为1，2，3，4，经过观察发现此积分区域关于轴对称，如果要利用结论，被积函数在上必须具备奇偶性，该被积函数在从整体上来看显然没有奇偶性，但是如果把被积函数分成四个部分来看，就会发现前三个函数都是上的偶函数，而是上的奇函数，所以首先利用二重积分的性质，先将所求积分分解为两个积分之和，而且第一个积分被积函数为上的偶函数，第二个积分被积函数为上的奇函数，根据对称区域上的偶倍奇零，第一个积分就为1+2上二重积分的2倍，而第二个积分结果为零，剩下的问题就转化为求∣∣+∣∣+ 在1+2上的二重积分，这时1+2是关于轴对称，由前面计算的过程得到启发，如果积分区域关于轴对称，由积分区域关于轴对称的结论。因为1+2是关于轴对称的，∣∣+∣∣满足 （）≡ （），满足 （）≡ （），所以∣∣+∣∣在1+2上二重积分就为2倍1上的二重积分，在1+2上二重积分为零。结果就为4（∣∣+∣∣）在1上的二重积分，其中1为积分区域的第一象限。为了计算∣∣+∣∣在1上的二重积分，按照通常的做法算出最后的结果为三分之四。

实际上，该积分区域关于原点对称也可以按照原点对称的偶倍奇零原则来计算该题。通过计算发现合理地利用对称性的结论，可以大大简化二重积分的计算，但使用时必须时刻关注积分区域对称和被积函数相应的奇偶性，只有在两者同时满足的情况下才可以利用偶倍奇零的原则。

这种偶倍奇零的思想不仅适用于我们已经学习过的定积分和二重积分，而且对于我们后面将要学习到对称区域上的三重积分、曲线积分以及曲面积分，也将采取同样的思想。

2.3 对称区域上的三重积分

如果三重积分 （）满足如下两个条件：区域由两个对称的部分与构成，对称点为， ； （）在对称点的值 （）， （）相等或互为相反数，则有如下结论：

若积分区域由两个对称部分和构成，设HO，其对称点为

其中表示位于对称轴（点）一侧的部分。

2.4 对称区域上的曲线积分

如果曲线积分 （）满足如下两个条件：积分曲线由两个对称的部分与构成，对称点为， ； （）在对称点的值 （）， （）相等或互为相反数，则有如下结论：

若积分曲线由两个对称部分和构成，设HO，其对称点为

其中表示位于对称轴（点）一侧的部分。

2.5 对称区域上的曲面积分

如果曲面积分 （）满足如下两个条件：曲面由两个对称的部分与构成，对称点为， ； （）在对称点的值 （）， （）相等或互为相反数，则有如下结论：

若积分曲线由两个对称部分和构成，设HO，其对称点为

其中表示位于对称轴（点）一侧的部分。

以上都是高等数学中常见的几类积分，通过研究发现只要具备相应的条件，利用定积分“偶倍奇零”的结果，可以推导出相应的结论，这些结论如果利用恰当，可以大大简化计算，以更加清晰的思路、高效率地为高等数学的教学和学习提供方便。