巧用临界位置的切线破解参数取值范围

刘骁

摘 要：求参数的取值范围是一类活跃在高考导数题中的热点问题，也是难点问题，其求解策略主要有二种：①分类讨论；②参变量分离。第一种方法思维量大，耗费的解题时间相对较长，还很易漏解和错解。第二种方法将参数完全分离后，灵活度不高，如果遇上求导后极为复杂，或者要运用洛必达法则等超纲知识，学生则会进退两难。那么如何破解呢？本文运用数形结合的思想和参变量的半分离的方法，例说巧用临界位置的切线，破解一类参数取值范围问题，并通过与分类讨论等传统方法的对比，来展示其优越性，以期找到固定化模板和套路。

关键词：数形结合；临界位置的切线；参数取值范围；分类讨论

求参数的取值范围是一类高考导函数题中的热点问题，其求解策略一般有二种：①分类讨论；②参变量分法。

法①显然思维量大，耗费的解题时间相对较长，还很易漏解和错解。

对于法②，其在一些题上固然很有优势，不过因其灵活度不高，将参数完全赤裸裸地分离后，如果遇上求导后极为复杂的函数问题，或者是要运用洛必达法则等超纲知识才能得出最值的问题，学生则会进退两难。

本文提出参变量的半分离，将一些复杂的函数分为两个简单的函数，运用数形结合的思想，抓住临界位置的切线，即可轻松得到答案。以下通过实例归纳出一些固定化的模版和套路。

由图像易知：b的取值的集合为{1}。

小结：例1介绍的将原含参函数分解为一个简单的指数函数和一个我们熟悉的一次函数（分解为两个简单函数），再通过一个方程组，即在切点处的函数值相同，切线斜率相同，得出相切即临界位置的情况。此做法有两个优点：一是计算量极小，二是说理时方便。

故本题正确答案为D。

小結：例2介绍的将原含参函数分解为一个简单的对数函数和一个一次函数，将导函数拆解成两函数后，我们可以过观察两函数的相对位置，看出导数的正负，也即原函数的增减性。和例1一样通过一个方程组，即在切点处的函数值相同，切线斜率相同，得出相切即临界位置的情况。

小结：例1和例2介绍的都是将原含参函数拆解为一直线和一曲线。更进一步地，例3介绍的是将原函数拆解为两个曲线（前提是这两个曲线是我们很容易了解的，不需要通过二次求导或一些极限思想来获知函数的图像），然后还是再由一个方程组，即在切点处的函数值相同，切线斜率相同，得出相切即临界位置的情况。

以上几题，通过与传统的分类讨论对比，充分展示巧用临界位置切线法的优越性，笔者在此再做简要归纳：将原复杂函数拆解为两个函数，可以是两个基本函数（我们熟知的一次函数，二次函数，对勾函数，对数函数，指数函数）或也可以拆解为一个稍微复杂些函数（需要通过简单求导即可得到其单调性）和一次函数，然后我们可以使用数形结合，找到临界位置的切线，最后，用前面多次提到的“一个方程组”（即在切点处两函数值相同，两函数导数值相同）来秒杀一类参数值取值范围问题，化抽象为直观，变繁琐为简洁，在高考导函数问题上起到四两拨千斤的作用。

参考文献：

[1] 兰琦.高中数学进阶教程.浙江大学出版社，2016.8.