《导数的综合应用》教学设计

郭静

一、教学目标分析

1、知识与技能：能利用导数解决与切线有关问题，会求函数的单调区间、极值、最值、不等式恒成立及方程根的个数问题.

2、过程与方法：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.

3、情感态度与价值观：培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度以及辩证唯物主义的方法论和认识论的渗透.

二、教学重点与难点

教学重点：明确函数的单调性和导数的关系，会求函数的单调区间、极值和最值.

教学难点：不等式恒成立和方程根的个数问题.

三、学法与教法

学法：（1）自主学习：引导学生通过亲身经历、动口、动脑、动手参与教学活动（如课前热身题目的处理）;（2）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨（如例题的处理）;（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如变式提升的处理）

四、教学过程

本节课教学过程主要分为：知识回顾、课前热身、典例示范、方法总结四个板块.

[知识回顾]（重在对知识的进一步理解和掌握，有利于建构知识网络，回归教材而高于教材）

导数定义，判断函数单调性，求极值、最值的方法.

课前热身：

（1）曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）

A.y=3x-4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x-5

（2）过原点作曲线y=ex的切线，切线的斜率____________

（3）函数y=2x3-3x2-12+5在[0，3]上的最大值____________

[典例示范]

例1.已知a>0，f（x）=x3-ax.若f（x）在（1，2）上单调递增，求a的取值范围.

解：由题知：f′（x）≥0在（1，2）恒成立.

即：3x2-a≥0在（1，2）恒成立a≤（3x2）mina≤3.

變式提升：

（1）若f（x）在（1，2）上存在单调递减区间，求a的取值范围.

（2）若f（x）在（1，2）上不单调，求a的取值范围.

例2.已知函数f（x）=lnx，g（x）=2-.

求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，并说明其单调性.

求函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点的个数.

解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=lnx+-2

∴F′（x）=

所以函数的单调增区间为（1，+∞）;单调减区间为（0，1）.

（2）由（1）知：F（x）min=F（1）<0，故函数有2个交点.

变式提升：

（1）已知函数f（x）=lnx，g（x）=m-，讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点的个数.

（2）已知函数f（x）=lnx，g（x）=2-，讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点的个数.

（3）已知函数f（x）=lnx，g（x）=m-，对任意a∈（0，1），函数y=f（x）与y=g（x）的图象恒有交点，求实数m的取值范围.

（4）已知函数f（x）=blnx，g（x）=-，讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点的个数.

（5）已知函数f（x）=blnx，g（x）=m+，x∈[1，e]，若对于任意的正实数b，函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点，求实数m的取值范围.

例3.已知

若对于∈[-2，2]，都有f（x）

解：令

因为，所以h（x）在[-2，2]上为增函数，

由题意得：

变式提升：

（1）已知

若对于x0∈[-2，2]，使得f（x0）

（2）已知

若对于x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）

（3）已知

若对于x1∈[-2，2]，至少存在x2∈[-2，2]，f（x1）

[方法总结]

1.已知函数在某个区间的增（减）性，利用导数将问题转化为函数的导数在此区间恒为正（或负）的问题;2.利用导数来解决方程根的个数问题或函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点问题，可分以下几个步骤：

（1）构造函数φ（x）=f（x）-g（x）;（2）对φ（x）求导，得出φ′（x）;（3）研究函数φ（x）的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点或断点的极限情况）;（4）画出函数φ（x）的示意图，观察与x轴的交点（或零点）情况;

（5）通过示意图或不等式得解。

3.恒成立或存在性问题可转化为函数的最值问题.