数值计算思想在“线性代数”课程教学中应用

景何仿 徐晓芳 蔡银娟

【摘要】在“线性代数”课程的传统教材及传统教学过程中，重理论而轻实践，重笔算而轻机算，使学生无法将所学知识应用到解决实际问题中，从而产生厌学情绪。作者在多年教学实践过程中，有意识地渗透数值计算思想，针对典型计算问题，构造了相应算法，并进行了数值实验， 在计算机上利用Matlab软件进行编程计算。通过实验化教学过程，极大地提高了学生的学习兴趣，增强了学生用线性代数知识分析解决实际问题的能力，同时也培养了学生的编程能力。

【关键词】线性代数 数值计算方法 数值实验 Matlab软件

【基金项目】国家自然科学基金项目（11361002）；宁夏自然科学基金重点项目（NZ13086/NZ14110）；北方民族大学教改项目（JYYB201415 ）；北方民族大学研究生创新项目。

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0128-02

1.引言

线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的一门数学分支，许多科学与工程问题都可归结为线性代数问题。“线性代数”课程已成为高等学校理工科类、经济管理类专业的一门重要的数学基础课程。然而，“线性代数”课程具有高度的概括性、抽象性，学习起来难度较大。传统的“线性代数”课程体系构建得不太合理，教学内容抽象，计算方法落后，缺少与相关数学分支的横向联系，没有及时反映现代科技尤其是数学软件对该课程的影响。因此，必须转变传统教学观念，树立新的教学理念，对现有的“线性代数”课程的教学体系、教学内容和教学方式进行深刻的改革。

近年来，关于“线性代数”课程教学改革的学术研究成果较多。关于有关知识点的应用方面，主要研究成果可参考文献[1-2]； 关于教学内容、教学方式、教学方法及考核手段上的一些改革建议的研究成果可以参考文献[3-4]；在数学实验方面的改革成果有[5-6]。

上述研究成果的取得，使得“线性代数”在课程体系、教学手段等诸多方面发生了较大变化，在一定程度上能够调动学生的积极性。然而，查阅已有的参考文献可知，已有的关于“线性代数”课程的实验教学方案，只是简单地调用数学软件（如MATLAB）中的一些命令解决线性代数中的有关计算问题。而实际工程问题，规模一般都比较大，问题也千变万化，许多情况下是无法直接调用现有的命令所能解决的。再者，如果在实验教学中仅仅机械地调用现有命令，无法培养学生逻辑思维能力和动手能力，学生走到工作岗位后将无法灵活运用所学知识解决实际问题。

为此，作者所在项目组承担了一个教改项目，拟在“线性代数”课程教学中加入数学实验，但与以往数学实验不同的是，除了调用现有命令，还有意识的将数值计算思想引入教学中，对一些典型问题，使学生不仅学会笔算，还要理解并掌握计算机解决有关问题地具体思路和算法，并能就简单问题编程进行计算。

2.典型问题实验化教学的设计

由于“线性代数”课程内容较多，不可能一一列举，这里仅就两个典型问题设计实验化教学方案，其中第一个为矩阵乘法运算，第二个为线性方程组的求解。

2.1 矩阵的乘法运算

由于矩阵的三角分解算法相对比较复杂，鉴于在学习《线性代数》时，大多数学生尚未学过程序设计语言。因此，这部分内容不做要求，可通过调用Matlab命令直接实现。以下仅介绍求解下三角形和上三角形方程组的算法及其程序实现。

算法2 （求解下三角形方程组，前代法）：

对于下三角形方程组（5），可用以下前代法来实现其求解过程：

第一步，分别定义n阶矩阵L、n维列向量b和y；

第二步，输入矩阵L和向量b的值；

第三步，求解方程组（5）中第一个方程，得到y1=b1/l11；

第四步，假设已经由（5）中前i-1个方程以次求出y1，y2，…yi-1，将其代入（5）中第i个方程，则得

第五步，按公式（7）依次求解（5）中剩余的方程，即可得到方程组（5）的解向量y.

算法3 （求解上三角形方程组，回代法）：

对于下三角形方程组（6），可用以下回代法来实现其求解过程：

第一步，分别定义n阶矩阵U、n维列向量x和y；

第二步，输入矩阵U和向量y的值；

第三步，求解方程组（6）中倒数第一个方程，得到xn=yn/unn；

第四步，假设已经由（6）中后面i个方程依次求出xn，xn-1，…，xn-i+1，将其代入（6）中倒数第i+1个方程，则得

第五步，按公式（8）依次求解（6）中剩余的方程，即可得到方程组（6）的解向量x。

3.数值算例

本节针对第二节中的典型算法，给出两个典型算例，利用Matlab软件编程进行计算。

算例1. 某家公司向三个商店发送四种产品的数量如表1所示：

4.结语

作为数学教学教学的三大基础之一的“线性代数”，对于培养学生逻辑思维能力和提高学生的综合素质都有非常重要的意义。在“线性代数”教学中引入数值计算方法思想，并将Matlab软件融入教学中来，加深了学生对抽象的数学概念的理解，使一些复杂的计算和推导过程在计算机上得以实现，极大地提高了学生的学习积极性，激发了学生的学习兴趣。同时，培养了学生的编程能力及应用所学知识解决实际问题的能力，开发了学生的创造性思维能力，为其后续课程的学习奠定了坚实的基础。

参考文献：

[1]Stuart J L. Linear Algebra and its Applications： A Geometric Approach Introduction to Linear Algebra[J]. American Mathematical Monthly， 2005， 112（3）： 281-288.

[2]郭文艳，赵凤群.数学建模及Matlab软件在矩阵运算教学中的应用[J]. 大学数学， 2013， 29（4）：87：90.

[3]孟丽娜，范广慧，曲绍平.线性代数教学改革的实践与探索[J]. 数学教学研究，2009， 28（8）： 57-59.

[4]李小平. 关于《线性代数》教学改革的一些思考[J].大学数学，2011，27（3）：22-25.

[5]杨雯靖.“线性代数”实验化教学的构想.中国电力教育[J].2009，137： 136-137.

[6]王军霞， 黄娟. 将数学实验融入线性代数的教学[J]. 数学教学研究，2011， 30（2）： 48-51.

[7]同济大学数学系主编. 线性代数（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[8]由同顺. 数值代数[J].天津：天津大学出版社，2006.

作者简介：

景何仿（1970-），男，甘肃岷县人，副教授， 博士，主要从事计算数学及河流动力学方面研究。