不等式问题研究—高等数学竞赛专科试题分析

缪烨红

(苏州健雄职业技术学院，江苏 太仓 215400)



不等式问题研究
—高等数学竞赛专科试题分析

缪烨红

(苏州健雄职业技术学院，江苏 太仓 215400)

摘要：不等式证明是高等数学竞赛中的常见题型，本文对江苏省历届高等数学竞赛专科组试题中涉及不等式问题的解决方法进行了归纳，以期一方面能为高职教师竞赛培训提供参考，另一方面也能拓宽学生的解题思路，培养他们的逻辑推理能力和创新思维能力。

关键词：不等式；高等数学竞赛

0引言

涉及不等式问题(不等式证明或最值)是高等数学竞赛中的常见题型，也是难度较大的题型之一。高职学生由于数学基础相对薄弱，高等数学授课课时相对较短，平时较侧重于计算能力的培养，学生遇到这类问题往往不知道从何下手，甚至不知道可以用哪些知识点解决这类问题。笔者对江苏省历届高等数学竞赛专科组试题中涉及不等式问题的解决方法进行了归纳，以期一方面能为高职教师竞赛培训提供参考，另一方面也能拓宽学生的解题思路，培养他们的逻辑推理能力和创新思维能力。

1案例分析及研究

1.1利用极限的保号性

例1：(2000年竞赛题)设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，其中a1,a2,…,an是实数，

且|f(x)|≤|sinx|，试证：|a1+2a2+…+nan|≤1．

故|a1+2a2+…+nan|≤1．

1.2利用函数的单调性

对所要证明的不等式通过适当的变形，如取自然对数、移项等方法，通过构造合适的辅助函数，讨论函数的单调性，从而证明出不等式或得出结论．若涉及积分不等式，可以构造积分上限函数，结合积分中值定理的使用，得出证明．

例2：(1994年竞赛题)试比较πe与eπ的大小．

解：将问题转换为比较elnπ与πlne=π的大小，所以可以构造函数f(x)=elnx-x (x>e)，

即有f(π)=elnπ-π<0，所以πe

注：此题也可以直接构造函数f(x)=ex-xe，x≥e，利用三阶导数的符号得出证明．

例3：(2002年竞赛题)设f(x)在[0,+∞)上连续且单调减少，0

求证： a∫0bf(x)dx≤b∫0af(x)dx．

证明：构造函数F(x)=a∫0xf(t)dt-x∫0af(t)dt，x∈[a,b]．

F′(x)=af(x)-∫0af(t)dt，由积分中值定理，∃ξ∈(0,a)，使得F′(x)=af(x)-af(ξ)．

由于f(x)在[0,+∞)上单调减少，ξ

有F(b)≤F(a)，即有a∫0bf(x)dx≤b∫0af(x)dx．

1.3利用函数的最值

对于形如f(x)≤a(或f(x)≥a)的不等式，通过构造辅助函数，找出函数的最大值或最小值，得出证明。有些涉及不等式的最值问题，也可以通过对不等式转化变形后，利用最值得出结论。

例4：证明：x>0时，x2011+2010≥2011x．

证明：考察函数f(x)=x2011-2011x，x>0． f′(x)=2011x2010-2011，令f′(x)=0，得

驻点x=1，易见f(x)在x=1处取得最小值，即f(x)≥f(1)=-2010，不等式得证．

例5：(2010年竞赛题)设a为正常数，使得x2≤eax对一切正数x成立，求常数a的最小值．

1.4利用函数的凹凸性

如果不等式中出现函数在若干个点处的平均值时，可以考虑用函数的凹凸性证明．

1.5利用微分中值定理

如果不等式中含有函数的增量形式，可以通过构造辅助函数，利用微分中值定理给出证明．

例8：设f(x)在区间(0,c)上具有严格单调递减的导数f′(x)，f(x)在x=0处连续且f(0)=0，试证：对于满足不等式0f(a+b)成立．

证明：在区间[0,a]和[b,a+b]上对函数f(x)分别利用拉格朗日中值定理，有：

f(a)-f(0)=f′(ξ)(a-0)，ξ∈(0,a)，f(a+b)-f(b)=f′(η)(a+b-b)，η∈(b,a+b)，

即f(a)+f(b)>f(a+b)．

1.6利用定积分的性质

对于某些积分不等式，可以利用定积分的不等式性质证明．

性质1：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx．

性质2：|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx．(a

例9：(2006年竞赛题)设f(x)在区间[0,+∞)上是导数连续的函数，f(0)=0，|f(x)-f′(x)|≤1，求证：|f(x)|≤ex-1，x∈[0,+∞)．

即-e-x≤F′(x)≤e-x． 由定积分的性质知：-∫0xe-tdt≤∫0xF′(t)dt≤∫0xe-tdt，x∈[0,+∞)，

即|f(x)|≤ex-1，x∈[0,+∞)．

2结语

高等数学中涉及不等式证明的方法除了上述方法，还可以利用定积分定义、二重积分等多种方法。本文仅就江苏省高等数学竞赛专科历年试题分析了常用的不等式处理方法，竞赛试题虽是以常规教学内容为主要考点，但是在难度和灵活性上有更高的要求。不等式问题要求学生不仅基础知识和基本技能掌握全面，也要求其对所学的知识体系和脉络十分清晰，是对学生分析问题能力和逻辑推理能力的综合考察。

参考文献：

[1]黄启平等. 对高职非理科专业高等数学竞赛的认识与实践[J].南通职业大学学报，2008，22(1)：27-29.

[2]刘丹等.高等数学中证明不等式的方法与技巧[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013，29(6)，4-8.

[3]吴凤珍.不等式证明的高等数学方法研究[J].四川文理学院学报，2012，23(2)，10-13.

[4]陈仲.高等数学竞赛题解析教程[M].东南大学出版社.

(编辑赵欣宇)

Inequality Problem Research—the Analysis of Test Paper of Higher Mathematics Competition

MIAO Yehong

(Suzhou Chien-Shiung Institute of Technology, Taicang 215400, China)

Abstract：Inequality proof is the common topic in higher mathematics competition. The paper concludes the solutions of involving the inequality problems in all previous higher mathematics competitions in Jiangsu province, in order to provide reference for higher vocational teachers’ competition training, on the other hand, to broaden the students’ thinking of solving problems, and to cultivate logical reasoning ability and innovative thinking ability.

Keywords：inequality; higher mathematics competition

中图分类号：G712

文献标识码：B文章编码：1672-0601(2016)04-0058-03

作者简介：缪烨红(1982-)，女。硕士研究生，讲师。主要研究方向： 高职数学教学。

基金项目：学院青年基金项目-HPM视角下高职数学教育的探索与研究(2013qnjj06)；院级教改项目-中高职衔接的高职数学课程教学改革研究(JG201508)

收稿日期：2015-12-21