小议解析几何教学中小题的深入性思考

姜华

[摘 要] 解析几何是高考数学的难点和重点，其小题往往对于学生思维和运算两方面进行了考查，本文从近年来的一些常见小题出发，谈谈小题复习的一些深入性思考.

[关键词] 解析几何；小题；定义；平面几何；运算

解析几何是高考数学的重点和难点，也是整个中学数学中地位非常重要的章节. 从近年来解析几何考查的比重来看，其在高考中一般占据20～25分的程度，而且难度一般较大，大部分学生对于解析几何的得分率普遍较低. 从解析几何的内容来看，其涉及的椭圆、双曲线往往运算量较大，运算能力较差的学生基本难以在解答题中取分，从概念性质来说，椭圆、双曲线、抛物线定义的运用，以及愈来愈多平面几何性质的结合使用，往往使得学生在问题解决中摸不着头脑，因此笔者结合近年来考题方向和特点，谈一谈解析几何小题在教学中应该处理的“三重境界”，层层递进式的解决问题.

境界一——解析几何定义的使用

？摇？摇解析几何的定义在中学数学阶段主要是两种，其一是感官定义，教材利用了绳子固定端点的拉动形成的椭圆以及拉链拉动形成的双曲线，在学生脑海中形成重要的第一印象，其二是第二定义（现阶段考查相对较少）. 在高考解析几何小题中，对定义的考查比比皆是，来看例题：

问题1 （改编自2013年浙江理）：如图1，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_____________.

分析：笔者建议有兴趣的读者试一试本题，本题从定义的两次运用出发，后续研究中位线、等腰直角三角形和余弦定理的使用，是一道将平面几何性质使用较多的综合性解析几何小题. 对于这样问题的处理，我们发现有助于学生理清问题解决的层次性：即首先运用定义思考问题，进一步运用平面几何相关性质来处理离心率.

总之，从近年高考真题的分析来看，笔者以为解析几何小题的破解恰在于上述三个层次的合理运用，纯粹对于定义的使用往往是针对简单问题的考查，对于运算的处理和一定技能的运用往往在于稍难问题的区分，运用定义和平面几何性质的相关使用结合是对于思维考查较高的一种体现. 笔者想起了诗人王国维在讲人生三境界的时候，其一“望尽天涯路”，暗指人生目标；其二“为伊消得人憔悴”，暗指奋斗不止；其三“蓦然回首，却在灯火阑珊处”，暗指反思即能豁然开朗. 因此，在研究高考解析几何小题指引复习教学时，也可以思考这样的三重境界，层层深入.笔者认为解析几何小题的解决恰是三种境界的体现：

（1）类型1体现的恰是一种“望尽天涯路”的境界——解决问题的方向是使用椭圆和双曲线的定义，这也是解决解析几何小题的常规思考方向；

（2）类型2体现的是解析几何小题“为伊消得人憔悴”的境界——在无法使用定义，只能通过坐标的运算方式来解决问题，笔者个人觉得这样的考题区分度、难度稍大；

（3）类型3在解决离心率中，很自然地回避了通过大量运算来解决的方式，从双曲线定义考虑，结合三角形的相关知识（诸如余弦定理、中位线、三角形四心等等）即轻松解决，这体现了问题解决的第三重境界“蓦然回首”，问题还得倚靠定义来，进一步结合平面几何中的相关知识即可.