由“将军饮马”问题模型浅谈多题一解的思维方法

周相荣

多题一解是指把型异质同或型近质同的问题进行归类分析，抓住共同题目本质就能弄通一题而旁通多题。多题一解的思想方法是数学教学中学生应掌握的基本解题方法和解题模式，它不仅能使学生形成必要的解题技能，还能使学生掌握一种探索数学问题的工具。也

是培养学生收敛性思维的重要途径。下面就教材中利用“将军饮马”问题来解决的几种数学类题，谈谈多题一解的思维方法。

问题来源

图 1

早在古罗马时代，传说海伦是亚历山大城的一位数学家。一天，有位罗马将军专程去拜访他，请教一个百思不得其解的问题。他每天从军营山峰A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的营地B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个问题被称为“将军饮马”问题广泛流传。

建立模型

图 2

直线a的同侧有两个定点AB，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小。

作点A关于直线的对称点A1，易知AP=A1P，根据“两点之间线段最短”

原理可知，当点P运动到点E（A1、E、B共线）所在位置时，AP+BP=A1P值最小。

这是中学几何教学中一个重要的基本模型。其本质是“求距离的和最小”问题，在教学中不仅要使学生知道如何解决问题，而且要使学生体会到解决问题所用到的数学思想是转化思想和模型思想，所用方法是对称的方法。

类题归解

（一）平面直角坐标中的最值问题

图 3

例1 如图3，点A，B的坐标分别为（-1，1），（3，2），P为X轴上一点，且到A，B的距离之和最小，求P点的坐标？

解析 此题虽是求坐标轴上点的坐标，但点的确定仍然是应用“将军饮马”问题中的数学思维方法，属同质类型的数学问题。作点A关于x轴的对称点A′，则C（-1，-1）。连接BC，与x轴交于点P，此时AP+BP最小。直线BC的解析式为y=34x-14，y=0，得x=13，故P（13，0）。

（二）代数中的最值问题

例2 求代数式x2+12+（4-x）2+42的最小值。

解析 此题纯代数问题，利用代数方法解决很麻烦，如果转换数学思维方法，利用“将军饮马”问题模型中的图形特征，来巧妙的构造几何图形，问题就迎刃而解了。构图思路如下取AB=4，作AC⊥AB，BD⊥AB，AC=1，BD=2。作点C的对称点C′，连接C′D交AB于点P。设AP=x，则BP=4-x，此时CP+PD=x2+12+（4-x）2+42且最小。过点C′作DB延长线的垂线交于点E，故CP+PD=C′P+PD=C′D=42+32=5。

（三）图形变换中的最值问题

图 4

例3 已知：如图4，Rt△ABC中，BC=2，AC=2，∠ACB=90°，D点为BC边上的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。

图 5

解析 由于C、D两点分布在线段AB的同侧，且点E为线段AB上一动点，要使EC+ED的最小值，联想到“将军饮马”问题模型中的基本图形，以CA、BC为边构造正方形ACBF，则点F是C点关于AB的对称点，连接DF交AB于点E，则此时EC+ED的值最小。

在Rt△DBF中，有EC+ED=EF+ED=DF=BD2+BF2=12+22=5。

说明 此图构造利用翻折变换，构建定点关于动点所在直线的对称点，在不改变线段长度的前提下改变其位置，化同侧为异侧，化折为直，找出相应位置，并求出最小值。其出题变换背景常有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等类型，这里不一一列举。

思维归纳

通过分析可以看出：上述类型题目都具有“一条直线同旁有两个定点，在直线上确定一动点的位置，使动点到两定点距离之和最小”的本质特征。解决此类问题的总体思路是：抓住“两点之间线段最短”这一基本模型，找出点关于线的对称点，实现“折”转“直”，不管题目的形式发生如何变化，学生只要抓住“将军饮马”问题模型中的图形特征，灵活巧妙的构造其几何图形，就能利用数形结合的思维方法去解决。

由此，教师在平时数学教学中，要注重典型性习题的选择，指导学生学会对题目的条件和结论进行分析，抓住题目的图形的本质特征，构建数学模型，并能在类题中灵活地根据数学模型特征构造几何图形，逐步激发学生向“同质异型”的知识点进行深层次探索，从解决问题上升到分析问题，由表及里，抓住问题的本质，善于反思和归纳，总结出“一类题目”解决的思维方法，进而应用此思维方法解决“同质”的相关类题。培养了学生“多题一解”的解题意识，提高了学生的解题能力，培养学生的收敛性思维。