掀起你的盖头来

宗新中

中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练，快速准确的解对题目是所有老师学生追求的目标。解题的速度与准确度取决于题目的难易程度，而题目的难易程度往往取决于条件的给出方式，条件给得显性，则相对容易，条件给得隐性，则简单题也可能变成难题。所谓隐性条件，是指题目中没有直接表述，但是根据明文表述可以推断出来的，或者没有直接表述，但是该条件是客观存在的常规或常理。隐性条件容易被解题者忽视，但往往又是解题的关键，暗示解题的思路和方法，决定解题的成败。解题，从某种程度上来说，就是挖掘各种层次的隐含条件，从题目中透露出来的蛛丝马迹，寻根溯源，使其真相大白，顺利得解。兵法云：知己知彼方能百战百胜。那么，那些“狡猾的敌人”通常隐藏在哪里呢？

一、条件隐藏在图形特征中

代数和几何是高中数学的重要内容，几乎每个知识点都涉及数形结合的题目，图文并茂的数学题目生动活泼，使题目显得形象直观，而图形所具有的特征，往往就是解题的关键。图形是辅助解题工具，数由形起，形由数生，抓住形的特征，解决数的问题，体会数形结合的数学思想，可以培养学生观察分析问题的能力。

例1 如图，已知O为△ABC外接圆的圆心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=。

思路分析：根据图形的对称性，得到3m=-n是解本题的关键。

解 由图形对称性可知 3m=-n，又∵9m-3n=4，解得m=29，n=-23。

∴AO=23（AB+AC），两边与2AB作数量积得：2AO·AB=43（AB2+AB·AC），

设AB=AC=x，由图可知，2AO·AB=AD·AB=（AB+BD）·AB=AB2。

∴AB2=43（AB2+AB·BC）。即x2=43（x2+x2cosA），于是得cosA=-14。

二、条件隐藏在不变关系中

数学中的很多问题都是研究变量的问题，不少题目中，变量关系极其复杂，给人一种无从下手的感觉，而以常规的方式处理，可能运算量极大，若我们能从这些错综复杂的关系中找到其不变的关系，以“不变”应“万变”，往往是解题的突破口。

例2 （2012江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）

析 本题主要考察一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系。本题突破口就是条件中的不变关系，不管m如何变化，解集的长度始终为6。可利用x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2顺利求解。

解 由f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），得：Δ=a2-4b=0。

不等式f（x）

（m+6）-m=a2-4（b-c）=4c，∴c=9。

三、条件隐藏在特殊字眼中

数学题目的描述语言一般比较通俗直白，极少渲陈铺垫，但有时题干中也有一些数学中常见的特殊字眼，如“唯一，至多，至少，有且仅有，任意，存在……”等。看似平常，却往往是解题的突破口，于“特殊”处生疑，是常用的解题思路。平时应多注意利用这些特殊“字眼”去挖掘隐含条件，不但能培养学生的读题审题析题能力，而且能提高学生的数学嗅觉。

例3 已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1=a（a>0），b1=a1+1，b2=a2+2，b3=a3+3，且数列{an}是唯一的，则a=。

析 本题条件中的“唯一”两字显得突兀，数列为什么会唯一？“唯一”怎么去用？这很有可能是解决问题的关键。经过分析之后可知，数列的唯一转化为了方程有唯一的非零解。

解 设等比数列{an}的公比为q，则数列{an}的前三项分别为a，aq，aq2，

则数列{bn}的前三项分别为a+1，aq+2，aq2+3。

∵{bn}是等比数列，

∴ （aq+2）2=（a+1）（aq2+3）。

整理，得：aq2-4aq+3a-1=0（a>0）。

∵a>0，故Δ=4a2+4a>0，即关于实数q的一元二次方程一定有两个不相等的实数根。

又因等比数列公比q≠0是唯一的，故一元二次方程aq2-4aq+3a-1=0必有一根是0

即a=13满足条件，此时，数列{an}，{bn}前三项都符合题意。

四、条件隐藏在数学定义中

数学定义都是经过千锤百炼的经典，每个条件每个字都值得去推敲。概念定义的学习理解应该是学习的重中之重，有些题目就在这上面做文章，故意混淆定义，或者偷换概念，使得题目看上去平淡无奇却暗藏“杀机”，解题时看似合理，却似是而非，最终功亏一篑。在平时的学习过程中应重视定义概念生成的学习，让学生去体会，只有真正理解清楚了，才不会被其“绕进去”。

例4 若数列{an}前项和为Sn，a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则an=。

错解 由题意可知，an+1=3Sn（n≥1），∴n≥2时，an=3Sn-1，两式相减得：an+1an=4。

∴{an}是等比数列。故an=4n-1。

析 这个答案看似有理，其实却与等比数列的定义不符，主要是没有抓住隐含在等比数列定义中的一个条件“从第二项起”，而本题中an+1an=4（n≥2）却是从第三项开始的，容易忽视。故正确结果为an=1n=13·4n-2n≥2。

五、条件隐藏在题目结构中

有些题目看上去思路很清晰，但是用常规的方法做起来计算量比较大，费时费力。若能仔细观察题目中表达式的构成特征，从题目结构出发，合理的进行特殊化处理，往往能出奇制胜，省时省力。特殊化处理的方式在做填空题时的效果尤其明显，往往事半功倍。常见的特殊化处理方法有：特殊图形，特殊位置，特殊数值，特殊模型等。

例5 （2010 江苏）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。若ba+ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB的值是。

解析 本题考察正弦定理角化边的运算，计算量大，得分率低。但如果仔细观察题目的构成特征，将a，b轮换，发现表达式不变。故可从表达式的结构入手，特殊化处理。所以不妨令a=b，从而简化运算，快速得到答案。

解 令a=b，则cosC=13。∴tanC=22，于是tan（A+B）=tan2A=-tanC=-22。

∴tanA=2=tanB，∴原式=4。

六、条件隐藏在变量范围中

函数问题是高中数学最重要的问题之一，函数与方程的思想是重要的数学思想。但是在解决函数问题时，常容易忽视自变量的取值范围，从而导致解题的不准确，甚至差之毫厘谬以千里。这种情况在三角函数中尤为明显，常因为忽视了角的范围而导致取值范围错误。因此我们在研究任何一类函数问题时，一定要优先考虑定义域，算准范围，以免前功尽弃。

例6 在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则ACcosA的值等于，AC的取值范围为。

错解 由正弦定理得：ACsin2A=BCsinA，

∴ACcosA=2，AC=2cosA。

∵△ABC是锐角三角形，∴0

析 本题主要利用正弦定理将边转化为角进而去求范围。△ABC是锐角三角形，不仅仅限制角A，同样限制B，C，相互制约，容易忽视。所以还要满足0

七、条件隐藏在解题过程中

有些题目题意新颖，语言抽象，乍一看，似乎没有任何的“破绽”，让人感觉一筹莫展，无从下手。这时不能着急，要仔细的阅读题目，“摸着石头过河”，写一写，算一算，再看一看，说不定就在写的过程中发现“蛛丝马迹”，使得整道题目豁然开朗。解题不能轻易放弃，要敢于下笔，要重视过程，边做边思考，山重水复疑无路处，说不定就是柳暗花明时。

例7 定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1。5]=1，[-1。3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数构成一个数列{an}，则数列{an}的通项公式为。

分析 本题理解起来比较困难，都是符号语言，很抽象。通过分析，既然是数列求通项公式，那就要抓住数列的特征，特征体现在哪里？数列中的项。作为一道填空题，在无法直接求出通项公式的时候，不妨先写出前几项看看，看看项有没有什么规律，在写的过程中发现：

当n=1时，定义域为x∈[0，1），函数f（x）的值域为{0}，此时a1=1；当n=2时，定义域为x∈[0，2），函数f（x）的值域为{0，1}，此时a2=2；当n=3时，定义域为x∈[0，3），函数f（x）的值域为{0，1，4，5}，此时a3=4；当n=4时，定义域为x∈[0，4），函数f（x）的值域为{0，1，4，5，9，10，11}，此时a4=7；……通过观察前四项，我们得到一个重要的条件： an-an-1=n-1，根据此递推公式再利用累加法可求得an=n（n-1）2+1。

当然，隐含条件的给出方式远不止这几种，可谓形形色色，防不胜防。但是万变不离其宗，只要我们在平时的教学过程中注重夯实学生的基础知识，注重优化学生的思维方式，注重培养学生的解题习惯，隐含条件就将无所遁形。同时，我们也应该看到隐含条件其实是把双刃剑，教学过程中我们要充分利用它，不但要利用它来解决问题，还要利用它来教育学生，让学生在发现它的过程中体会数学的严谨与精彩，从而激发学生学习数学的兴趣，提高其数学解题能力。