应用型人才培养目标下离散数学课程的教学

魏洪伟 王博 王建华

摘要：针对应用型人才培养目标下离散数学课程的教学实际，分析计算机专业离散数学课程的教学原则及方法，提出学以致用的教学原则，阐述如何在离散数学教学中运用翻转式教学、引导学生独立思考、加强实践等教学方法，使学生牢固掌握离散数学知识并将其应用于实践，使离散数学教学为培养应用型人才服务。

关键词：应用型人才；离散数学教学；学以致用；翻转式教学；

引言

离散数学是研究离散量的结构及离散量间相互关系的一门学科，在计算机科学理论体系中具有重要的基础地位。毫不夸张地说，计算机科学理论体系是架构在离散数学的基础上的。许多计算机专业后续课程都以离散数学为基础，无论是硬件还是软件，离散数学知识都有着举足轻重的地位。从硬件角度来说，计算机硬件系统本身就是一种离散结构，只能处理离散的数量关系，比如在数据存储方面，磁盘用离散的磁粒子保存数据、光盘用离散的凹点保存数据。在软件方面，很多算法和数据结构都是架构在离散数学模型基础上、利用离散数学方法来解决问题的，比如树、图等常用的数据结构。因此，学好离散数学是学好计算机软硬件理论知识的关键。

古人说：学以致用。离散数学是最贴近生活、最能展现这一原则的数学学科之一。计算机专业学生学习离散数学就是为了将其应用于计算机领域，进而成为应用型人才。因此，在离散数学的教学过程中，我们一直遵循“学以致用”的教学原则，以培养应用型人才为目标。

1教材与教学方式的选择

在教材的选择上，我们选择的是美国Bernard Kolman等人撰写的Discrete MathematicalStructures，采用双语教学。之所以选择这本英文教材，原因有以下几方面。

首先，该教材在介绍离散数学知识的同时，既介绍了相应知识在计算机领域中的应用，又介绍了如何利用计算机专业知识来解决数学问题。切合了我们培养应用型人才的目标。

其次，选择英文教材进行双语教学能够使学生掌握一定的英文专业术语，提高学生阅读英文文献的能力。比如，数据结构是最重要的计算机专业课之一，也是以离散数学为基础的一门课程，数据结构中不仅涉及离散数学的许多知识，而且算法名称、变量名称都以英文形式出现，这些英文术语在该离散数学教材中均有涉猎，掌握这些术语对学生深入理解算法大有裨益。另外，由于以往阅读英文文献在本科阶段所占比重不是很大，本科生往往忽略对这一能力的提高。而一旦进入科研领域，英文能力的欠缺不但影响到他们对工作、学习的信心，还大大限制了他们的发展。通过双语教学能够提高本科生的专业英文水平，有利于他们将来继续深造和求职就业。

2贯彻学以致用的教学原则

正因为离散数学是计算机专业其他课程的基础，所以讲授这门课程就不能孤立地讲数学知识，更应该让学生了解所学的数学知识在计算机科学中的应用，使学生学以致用。

离散数学主要包含集合论、数理逻辑、近世代数、树论、图论等内容。提到离散数学，人们很容易想起数理逻辑这部分知识。为什么要学逻辑，它和计算机科学有什么联系，这是很多计算机专业学生的困惑。在讲授这部分知识之前，我们应介绍逻辑在计算机科学中的基础地位：第一，因为命题的真值只有T、F两种状态，所以可以用0、1表示，而命题间的∧、∨、～等运算关系是数字逻辑电路设计的基础；第二，计算机程序设计必须严格遵循逻辑，建立严谨的逻辑思维有利于计算机程序的设计与开发；第三，逻辑关系中由==>、<=>、≡等符号联结的表达式传递给我们的信息实际上是一些推理、证明方法，比如（p<=>q）一（p==>q）∧（q==>p））这个表达式实际上告诉我们，在证明两个命题p<==>q时，可以通过证明p==>q并且q==>p这两个蕴含式来实现。所以这些逻辑表达式都可以在推理、证明的过程中加以运用。

离散数学中最常见的一个名词就是关系，而计算机科学中常用到的数学模型大多是特殊的关系，如函数、布尔代数、树、图等，可以说关系的特性渗透在计算机科学的多个领域。树和图这两种特殊的关系对计算机科学的贡献更是有目共睹，它们不仅为我们提供了数据存储的方法，更提供了处理数据的算法依据。比如，二叉树为我们提供了一种数据的存储方法，基于它衍生出多种搜索策略和数据处理方法，哈夫曼树更为我们提供了一种行之有效的编码方案。再如，图论中汉密尔顿路问题的一个最典型的应用就是算法分析课中的旅行售货员问题，这个问题是算法分析课的一项重要内容，不仅涉及离散数学中图论的相关知识，其解决方案更涉及树论的知识。在离散数学课中简要介绍旅行售货员问题的基本概念和算法基本思想，既能使学生加深对树论、图论相关数学知识的理解，更能为学生将来学习算法分析打下基础。因此，在离散数学的授课过程中，不但要注重相关数学概念和运算方法的讲解，更要渗透这些知识在后续课程中的应用。

3引导学生在思考中学习

应用型人才应具有较强的独立分析问题、解决问题的能力，在思考中学习正是提高这一能力的前提。学习就是一个思考的过程，只有多问多想才能更好地理解知识、掌握知识进而运用知识。教师的作用就是引导学生思考、教会学生如何思考。如果像填鸭一样把所有知识灌输给学生，只会使学生“消化不良”，产生厌学心理。教室不是教师的一言堂，而是师生共同探讨知识的天地。教师也并非至高无上、不容置疑的权威，懂得质疑的学生比盲目接受的学生学得更扎实、用得更灵活。因此，在教学中多为学生营造思考的空间，多问一些为什么，允许学生质疑，这样才能调动学生的积极性，其学习效果则更加显著。

比如，图论中的运输网络问题需要求解最大流，可以利用标号算法解决。但算法本身较繁琐，步骤也很多，每找到一条路就要进行一次回溯，学生在做题时难免有些困惑。此时应适时向学生提问：为什么要进行多次回溯？学生经过思考不难发现，回溯的目的是为了重新找到从源到汇的路，而多次回溯就是要找到所有从源到汇的路，这些路累加起来就是运输网络中的最大流。如此，学生就能自行总结出标号算法的基本思想：找到从源到汇的所有路，将这些路累加起来得到最大流。标号算法虽然繁琐，算法步骤虽然多，但只要能够理解其基本思想就能利用它来解决实际问题。离散数学中类似的例子不胜枚举。在教学中，教师要不断地引领学生前行，一个又一个的“为什么”就是引领学生前行的路标，思考则是前行的最强动力。

4翻转式教学法的应用

翻转式教学使学生成为课堂的主体，课程的讲解人从教师“翻转”为学生。教师提前将学习提纲布置给学生，学生自学后到课堂上讲解，再由师生共同讨论、总结。离散数学中一些难度不大的内容完全可以采用翻转式教学法。比如图论中Some important special graphs（几种特殊的图）这部分内容就可以以填表的形式让学生自学并讲解，如表1所示。表1中涵盖了这部分内容的全部知识点，学生要完成表格就必须仔细阅读书中内容，并利用书中的定义、定理去判断（如是否正则图、连通图）、计算（如边数）、总结公式。

让学生在课堂上讲解不但可以活跃课堂氛围、加深学生对知识的理解，还可以锻炼学生的语言表达能力，这些都是应用型人才的基本能力。因此，翻转式教学是培养应用型人才的有力方法。

5加强实践环节

对于应用型人才的培养，实践环节是不可或缺的重要部分。离散数学知识在计算机领域有着广泛的应用，许多数学问题也可以用计算机手段来解决。比如前文提到的运输网络问题就可以编程序解决。离散数学课中类似的问题还有很多。为了让学生更好地理解离散数学在计算机科学中的应用、提高学生利用所学的计算机知识解决问题的能力，我们通过课程设计、学年论文、毕业论文等方式，将离散数学知识与计算机其他专业知识相融合，提出许多课题让学生独立解决，如匹配问题的研究与应用，数学归纳法在算法验证中的应用，图的着色问题、欧拉路问题、汉密尔顿路问题、最短路径问题等图论知识的研究与应用，编程序验证关系的自反性、对称性、传递性等。通过这些课题的训练，不但加深了学生对数学知识的理解，使学生将数学知识应用于实际问题，更提高了学生利用计算机编程解决实际问题的能力。

6结语

在十几年的离散数学教学实践中，我们始终坚持以培养应用型人才为目标，以学以致用为教学原则，不断尝试和总结新的教学方法，使学生熟练掌握离散数学知识并能将其应用于实践，为后续课程打下坚实基础。问卷调查显示，95%的学生认为离散数学的学习对后续课程有很大帮助，92%的学生认为我们采取的教学方式有助于理解和运用知识，89%的学生希望增加翻转式教学、实践教学。在今后的教学中，我们会继续研究与探索，力争为社会培养更多具有实践能力和创新精神的应用型人才。