“本是同根生”说说这一特殊的函数

钱佳玲

【摘 要】本文揭示了数列是一类特殊的函数这一本质，列举了在某些数列问题上，可以利用函数的知识来解决，提高解题速度。另一方面，由于数列的特殊性，与函数问题又有区别，在利用函数思想解决数列问题的时候，不能一概而论，要认清其中差异，才能提高正确率，从而提升思维能力。

【关键词】函数；数列

一、会用函数知识解决数列的问题

既然数列可以看出特殊的函数，那么能否用函数的知识来解决数列的一些问题呢？

例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2-4n+6，求Sn的最小值。

分析：由于数列可以看成特殊的函数，那么Sn就可以看成是关于n的二次函数，由对称轴n=2，可以快速得出这个数列Snmin=2。

例2：等差数列{an}中，已知a1=25，S9=S17，则此数列前多少项和最大？

分析：由于公差不为0的等差数列的Sn=An2+Bn，由题可知这个二次函数的对称轴为n=13，所以前13项和最大。

反思：上面两个题目利用函数的知识都可以快速的解决，简单方便，但是这边涉及到的对称轴恰好是整数，若不是整数，就需要我们抓住数列的特殊性，避免发生错误。

例3：在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），则a2014=

解：法一

通过递推关系式，可以一一列举出等，由此发现这是一个以6为周期的一个循环过程。所以只需看2014中有几个这样的周期就可以了。

法二

由题意，其实告诉了我们f（n+2）=f（n+1）-f（n）的抽象函数关系式，且n∈N*，

∵f（n+2）=f（n+1）-f（n） （1）

令n=n+1

∴f（n+3）=f（n+2）-f（n+1） （2）

（1）+（2），得f（n+3）=-f（n）

令n=n+3，得f（n+6）=f（n）

从上式可以看出此抽象函数以6为周期且每隔两项的值是相反的，还可以得出每个周期的和为0，同样可以得到

法二很巧妙的利用了抽象函数的知识解决了数列的问题，使得此数列的特征更加明显，解题也更加规范。

二、抓住特殊性，精准做题

在利用函数知识解决数列问题的时候，往往会忽略数列的特殊性而导致错误。这时候一定要认准数列的特殊性，抓住其本质，才能做到精准做题。

例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2-5n+6，求Sn的最小值。

分析：Sn是关于n的二次函数，但是这个二次函数的对称轴为n=2.5，由于数列的特殊性，n只可取正整数，当n=2或3时，Sn都能取到最小值0。

例2：已知数列{an}是递增数列，且an=n2+λn，求实数λ的取值范围

解：法一

法二

∵an=n2+λn是关于n的二次函数，根据函数图像的单调性

∴只需对称轴满足：

即λ>-3

反思：解法一根据数列单调性的定义，转化成恒成立的问题。解法二利用函数的知识，但是在实际批阅过程当中，学生出现了错误答案，究其原因，是只考虑了而得来的错误答案，其根本原因还是在于没有抓住数列的特殊性，与连续函数图像的区别。

例3：设，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 错解：把此数列完全等同于分段函数，只保证了分段函数在每一段的单调性和在分段点处的递增性：∵{an}是递增数列

由于没有考虑到数列是个特殊的函数，自变量n∈N*，对应的图像为一个个孤立的点，所以在分段点处不需要考虑绝对的递增性，只需保证a7

∵{an}是递增数列

错解的解法是学生在实际解题过程当中常犯的错误，只有认识到数列的图像是一个个孤立的点，理解数列单调性的本质才能做到信手拈来。

“本是同根生”，抓住函数这一条根，寻找数列的不同点，在用函数思想解决数列问题的同时，又能关注到数列这一条“藤”，注意数列的特殊性，必定可以对数列有一个更深刻的了解。