关于三角函数求值中平方的技巧

华爱国

三角函数的给式求值问题是三角变换的重要形式，是体现三角函数综合运算能力的一种题型.虽然题目变化多，解题复杂，但解题思路广阔，极富挑战性和思考性，其中平方法就是一种常用的解题技巧，下面举例介绍平方法的用法，供参考.

一、两边同时平方

例1已知-π2

解析（Ⅰ）由sinx+cosx=15，

两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125，

即2sinxcosx=-2425.

因为（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=4925，

又因为-π2

所以sinx<0，cosx>0，sinx-cosx<0，

故sinx-cosx=-75.

（Ⅱ）3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx

=2sin2x2-sinx+1sinxcosx+cosxsinx=sinxcosx（2-sinx-cosx）

=-1225×（2-15）=-108125.

点评在已知条件中，若含有等式sinx±cosx=a时，使用两边平方的方法可将其转化为sinxcosx的表达式，为继续解题提供了依据.

例2已知sinα=2cosβ①，tanα=3cotβ②，-π2<α<π2 ，0<β<π，求α，β的值.

解析当tanα=0时，cotβ=0，

又-π2<α<π2，0<β<π，

所以α=0，β=π2.

当tanα≠0时，①÷②得cosα=23sinβ.③

①2+③2得2cos2β+23sin2β=1，

所以cos2β=14cosβ=±12.

因为0<β<π，所以β=π3或2π3.

代入①得α=π4或-π4.

故α=0，

β=π2或α=π4，

β=π3或α=-π4，

β=2π3.

点评本题利用两边同时平方的手段达到了消元的目的，这是解决三角多元问题求值的主要方法之一.

二、两式平方相加

例3已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos2α+cos2β的值.

解析由已知得sinα=1-sinβ，①

cosα=-cosβ.②

①2+②2得1=1-2sinβ+1，即sinβ=12，

所以sinα=12.

所以cos2α+cos2β=2-2sin2α-2sin2β=1.

点评在利用两式平方相加消元时，应根据题目的需要，本题中若直接将已知二式平方，不能够消元，需将二式移项变形后再平方，才能达到目的.

例4已知0<α<β<γ<2π，且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求β-α的值.

解析由于条件中有三个角α﹑β﹑γ，结论中只有两个角α﹑β，故考虑消去γ.因为

sinα+sinβ=-sinγ，①

cosα+cosβ=-cosγ，②

①2+②2得2+2（sinαsinβ+cosαcosβ）=1，

即有cos（β-α）=-12.

又0<α<β<γ<2π，0<β-α<2π，

故β-α=2π3（4π3舍去）.

点评本题对照欲求的结论，必须将γ消去，把sinγ、cosγ移到等式一边，再两边平方既可消元，又构造出含有β-α的三角函数表达式，使问题顺利解决.

三、两式平方相减

例5（1）求证sin2α-sin2β=sin（α+β）sin（α-β）.

（2）已知sin（α+π12）=12，sin（α-π12）=32，求sin2α的值.

解析（1）因为sin（α+β）sin（α-β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2β=sin2α-sin2β.

（2）根据（1）的结论知sin2（α+π12）-sin2（α-π12）=sin2αsinπ6.将已知条件代入得14-34=12sin2α，故sin2α=-1.

点评本题给出了两个正弦平方相减的一个公式，在适宜的情况下，使用此公式可获简解.