数列型不等式想说爱你不容易

金雅芳

纵观近几年高考数学卷，很多压轴试题多为数列与不等式相交汇的试题，其中往往涉及证明数列型不等式.这类问题融计算、推理于一体，不但考查证明数列不等式的各种方法，也是对考生的数学阅读、理解、转化等能力的综合考量，难度不小.碰到这样的问题，考生第一时间往往会望而生畏，真可谓：“想说爱你不容易”.其实数列型不等式的求解或求证是万变不离其宗的，只要解题策略正确、方法得当，还是有章可循的.因此，在数列复习教学中，要把握好数列与不等式之间的交汇点，进行适当的拔高，要求学生将数列不等式试题串成一条主线，即用不同的放缩技巧来进行证明.在放缩过程中，会合理地使用裂项放缩法、等比放缩法、函数放缩法及二项放缩法等方法处理结果.下面举隅一二，与读者共享数学之美.

一、裂项放缩法求证数列不等式

常见的恒等变换：

（1）11×2+12×3+…+1n（n+1）=1-1n+1<1；

（2）11×3+12×4+13×5+…+1n（n+2）=12（1+12-1n+1-1n+2）<34；

（3）12×3+14×5+…+12n（2n+1）<16+14（1-12+12-13+…+1n-1-1n）=512-14n<512；

（4）12×3+14×5+…+12n（2n+1）<16+12（13-15+15-17…+12n-1-12n+1）=13-14n+2<13.

……

例1设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*；

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13（n∈N*）

解析（Ⅰ）由题可得，[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又各项均为正数，故Sn=n2+n，

则an=S1n=1，

Sn-Sn-1，n≥2，即an=2，n=1，

2n，n≥2.

综上an=2n （n∈N*）

（Ⅱ）可有1an（an+1）=12n（2n+1）<1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）.

当n=1时，1a1（a1+1）=16<13成立；

当n≥2时，

1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）

<16+12（13-15+15-17+…+12n-1-12n+1）

=16+12（13-12n+1）=13-12（2n+1）<13.

综上所述，对一切正整数n，均有1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13成立.

二、等比放缩法求证数列不等式

常见的恒等变换：

（1）12+122+…+12n=12[1-（12）n]1-12=1-（12）n<1；

（2）13-1+132-1+…+13n-1<23+232+…+23n

=2×13[1-（13）n]1-13=1-（13）n<1；

（3）13-1+132-1+…+13n-1<12+232+…+23n

=12+29[1-（13）n-1]1-13=56-（13）n<56.

例2已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

（Ⅰ）证明：{an+12}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：1a1+1a2+…+1an<32.

解析（Ⅰ）因为an+1+12an+12=3an+1+12an+12=3，

所以{an+12} 是等比数列.

又an+12=（a1+12）·3n-1=12·3n，则an=3n-12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，1an=23n-1≤33n=13n-1，

1a1+1a2+…+1an≤1+13+132+…+13n-1

=1[1-（13）n]1-13=32[1-（13）n]<32，

即证1a1+1a2+…+1an<32.

数列与不等式的结合，是高考的热点性题型，也是高考复习需攻破的一个难点.在日常教学中，教师应对一些典型试题开展“一题多解”、寻找最优解等活动，提高学生的思维品质，通过解一题、带一片，强化知识的正迁移，从数学模仿秀开始，逐步了解数列型不等式的求解思路及解题策略，最终达成问题的求解.