求φ的两种常用方法

李瑞华　汪孔娟

[摘 要] 介绍两种应用条件快速地求出初相φ的方法.这两种方法分别为利用最值点求φ和利用平衡点求φ.

[关键词] 初相 最值点 平衡点

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0055

在求三角函数型y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的解析式中，学生普遍感觉难求初相φ.本文介绍如何最快求解初相φ.

要想快速地求出初相φ，就必须回顾五点作图法的列表.作函数y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的图像的第一步是列表：

列表时，先填中间一行：

为什么先填中间的一行呢？仔细回想，“0、 π 2 、π、 3π 2 、2π”是正弦函数y=sinx的“五点作图法”中的五个关键点（三个平衡点，两个最值点）.“ωx+φ”叫做相位.对相位的理解，影响求初相φ.对正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）来说，相位“ωx+φ”的五个数据对 应的是五个关键点：第一个平衡点（- φ ω ，k）；最高点（ π 2ω - φ ω ，A+k）；第二个平衡点（ π ω - φ ω ，k）；最低点（ 3π 2ω - φ ω

，-A+k）；第三个平衡点（ 2π ω - φ ω ，k）.对比正弦函数y=sinx，有三个平衡点和两个最值点，求A、k和周期T（进而求ω）就很容易理解了.这五个关键点的坐标是不用背的.我们将x的值代入相位“ωx+φ”，找对应的相位的值即可.如：当x= π 3

时，函数值最大或图像最高，则ω× π 3 +φ= π 2

，解方程求φ（ω已知）.这是运用整体思想求解的.事实上，“ωx+φ”相当于y=sinx中的“x”，相位的本意也正在此.

由图像的五个关键点求φ时，优先考虑最值点.因为最值点对应的相位是唯一的，最高点对应的是 π 2 ，最低点对应的是 3π 2 .如果无最值点，再考虑平衡点.此时要判断清楚是第几个平衡点，才能找准相位.如果无这五个关键点，则代入一般点，通过解三角函数求得φ.若所求得的值不在所给范围内，则根据周期进行调整.

一、利用最值点求φ

图1

【例1】 （2015·陕西，理3改编）如图1，某港口一天6

时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（ π 6 x+φ）+k，（|φ|< π 2 ），据此函数图像可知，φ的值为（ ）.

A. π 6

B.- π 6

C. π 3

D.- π 3

答案： B.

解析： 观察图1，求φ选择代入最低点，由最低点的相位求解.由图1知，当x=10时，ymin=2，∴ π 6 ×10+φ= 3π 2 ，解得：φ=- π 6 .

点评： 如果题设没有限制φ的范围，则得到φ=2kπ- π 6 ，k∈ Z .如果题设还给有其他点，那么仍是优先选择最值点.

二、利用由平衡点求φ

图2

【例2】 （2015·新课标Ⅰ，理8）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图像如图2所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）.

A.（kπ- 1 4

，kπ+ 3 4 ），k∈ Z

B.（2kπ- 1 4 ，2kπ+ 3 4 ），k∈ Z

C.（k- 1 4 ，k+ 3 4 ），k∈ Z

D.（2k- 1 4 ，2k+ 3 4 ），k∈ Z

答案： D.

解析： 先求解析式，再求单调递减区间.求解析式时，ω由周期确定，φ由平衡点确定.由图2知， T 2 = 5 4 - 1 4 =1= π ω ，解得：ω=π.

根据余弦函数的图像知x= 1 4 是第一个平衡点，故 1 4 ω+φ= π 2 ，解得：φ= π 4 .∴f（x）=cos（πx+ π 4 ）.再令2kπ<πx+ π 4 <2kπ+π，k∈ Z ，解得：2k- 1 4

点评： 判断准确平衡点是代准相位的关键.当然，正弦与余弦更不能代错.

（责任编辑 钟伟芳）