从美育的角度看南开大学的数学文化课

顾沛

摘要：数学之美可以归纳为简洁美、对称美、统一美、和谐美、奇异美等。但是，这些数学之美不是人人天生都能感知的。南开大学的数学文化课引导学生领悟数学的魅力，提高数学素养，帮助学生逐步学会感悟数学之美。

关键词：数学之美；数学文化；课程；美育

我们的教育，要使受教育者在德、智、体、美几方面都得到发展。高校教育的主渠道，是课程的教学。美学家朱光潜说过：“美有两条标准，一、美都显示出奇异的均衡关系，二、美是各部分之间及部分与整体之间固有的和谐。”本文从美育的角度来看看南开大学的“数学文化”课。该课程是校公共选修课，被列为南开大学通识课程中的首批“核心课程”，自2001年2月以来，至今已经连续开设27轮。数学文化课在课外的延伸，主要包括编辑校内刊物《数学之美》（陈省身先生题写刊名）以及举办全校“数学之美论坛”。15年来，数学文化课在课堂内外，不但成为南开大学校园文化的一道亮丽风景，也显示出它的美育功效，受到学生的广泛欢迎。不久前南开大学召开了全校美育工作会议，特邀笔者做大会发言，题目就是“数学文化课程的美育功效”。

数学文化课不同于一般的数学课程，它以深浅适当的知识为载体，改善学生的思维品质，传授数学的思想、精神和方法，既提高学生的数学素质，也提高学生的文化素质和思想素质，在素质教育（包括美育）中发挥了较好的作用。

一、数学的简洁美、对称美、统一美、和谐美、奇异美

“让学生受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，提高对数学的兴趣”，很早就被我们设立为数学文化课的课程目标之一。

正如英国数学家兼哲学家罗素所说：“数学，不但拥有真理，而且具有至高的美，是一种冷而严格的美。”笔者在教学中把数学之美归纳为简洁美、对称美、统一美、和谐美、奇异美等。例如，世界是纷繁复杂的，人类对世界的认识也是曲折繁复的，可是用数学公式表达其规律，又是那样简洁，如牛顿力学中的第二定律F=ma、爱因斯坦的质能转换公式E=mc2，都体现了简洁美。又如任何一幅地图的染色，为了使所有相邻的区域颜色不同，只要四种颜色就够了。该“四色定理”从1852年提出猜想，经过世代数学家的努力，至1977年才发表证明。并非因为只用四种颜色可以节约印刷成本，这些探索完全是出于数学家对简洁和完美的追求，这也反映了数学的简洁美。再如我们身边有多种多样的对称，如雪花、剪纸、商标、服装、人体、建筑物，如文学中的对联、对仗，如计算三角形面积的海伦公式。数学能够把各个领域各不相同的对称中共同的本质抽象出来，表述出来，并且加以应用，这反映了数学的对称美。再如用不同的绳索织不同的网，这些网似乎可以千差万别，但是数学上却可证明，任何网的结点数（V），网眼数（P），边数（E）都必定满足同样的公式：V+F-E=I。数学就有这样的本领，能够把看起来混乱的事物总结出统一的规律，这反映了数学的统一美。每年春夏秋冬的轮回，每月月亮的阴晴圆缺，每天白昼黑夜的交替，大海潮水的涨落，心脏有规律的跳动，数学上都可以用“周期”一词来概括、去研究，这也反映了数学的统一美。1777年“蒲丰投针”用随机性试验，去求确定性的圆周率，把概率论与几何学这两个看来互不相干的数学分支联系起来，这也反映了数学的统一美。再如欧拉公式e12+1=0，把数学中五个重要的常数π、i、e、l、o联系在同一个等式中，这反映了数学的和谐美。数学中的黄金比0.618，体现了一种恰到好处的和谐，会给人们带来愉悦，这也反映了数学的和谐美。再如斐波那契数列在大自然中有广泛的体现，例如向日葵的种子排列得十分紧密，其中的规律就涉及斐波那契数列。

二、数学之美还体现于数学有用

数学之美还体现于数学之有用。例如，数学揭示和抓住事物的本质后，能够以简驭繁（简洁美），解决大量的实际问题。非常有用的微积分，基本思想就是“局部以直代曲”，“直”就是“曲”的简化，其中的泰勒公式是用简单的多项式函数去逼近各种复杂的函数（简洁美）。国际上约定的求救符号SOS利用了其对称性，使它从正反两个方向上看都是SOS，便于发现遇险求救的人员（对称美）。笛卡儿发明的坐标系，把数与形统一起来产生了解析几何学，非常有用（统一美）。太阳系多个行星的运动轨道虽然各不相同，但都是以太阳为焦点的椭圆，并且都满足开普勒总结的三个定律（统一美）。纳皮尔发明的“对数”，可以把乘除运算转化为加减运算，带有奇异性，却能够大大加快运算的速度（奇异美）。七巧板可以拼出丰富多彩的图形，也带有奇异性，而这些奇妙的拼搭不但能够锻炼智力，而且会使人产生难以言表的成就感和美的享受（奇异美）。人们用宽与长之比接近黄金比0.618的矩形做国旗，会比较美观（和谐美）。华罗庚先生创造的“优选法”，在区间的0.618处取试验点，能用较少的试验次数达到较好的效果（和谐美）。所以，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。

三、数学之美的教学实例

但是，这些数学之美并不是人人都能感知的，更不是天生都能感知的。南开大学的数学文化课设计了丰富的话题，有趣的情境，通过探究式的教学，启发学生领悟数学的魅力，体会知识中蕴涵着“数学方式的理性思维”，提高数学素养，就能帮助学生逐步学会感悟数学之美，也能促进科学素质教育与人文素质教育的有机融合。这就是数学文化课程的美育功能。也如王义道先生在不久前的一篇文章中所说：“这两者的结合就体现在科学与人文的融合上，德与才和真善美的统一上。”

在教学中如何引领学生去感悟数学之美？本文前面两个大标题下举出的大量例子，都是南开大学数学文化课教学实例的简练表述。下面，再略微详细地与读者分享几个教学实例，同时总结、分析数学文化课进行美育教学的一些规律。

1.设计适当的情境，有利于美育教学

“一一对应”中的数学美，学生不易理解，我们就设计了“大足石刻千手观音”的情境，从感性到理性地讲解。千手观音的手又多又乱，很难数清。明朝的一位工匠找来2000张金箔，一张一张地往观音的手上贴，既不会漏掉一只手，也不会重复地贴一只手；然后再数剩下的金箔，算出贴上的金箔数，这就是千手观音手的数目。学生从金箔与手的一一对应，感悟出其中的数学美。这样的例子还很多，如用“韩信点兵”的故事逐步讲解中国剩余定理；用“有无限个房间的旅馆”客满后仍然能安排新来的客人，解释无限与有限的根本区别，使学生感悟“无限”中的数学美。

2.讲清知识的数学本质，有利于美育教学

数学能够揭示事物的本质，使人体会到数学之美。传授知识时如果能讲清其中的数学本质，也会使人感受到“数学方式的理性思维”，有利于美育教学。如“孪生素数”的概念虽然是“间隔2的素数”，但“孪生素数猜想”的本质却是“总有”间隔同一个正整数的素数。所以，张益唐先生证明了“总有”间隔7000万的素数，就是解决“孪生素数猜想”问题的重大进展。这样的例子还很多，如讲解“井盖为什么大多设计为圆的，而不是方的”，数学本质是“圆的直径均同长”，而正方形的边长小于其对角线的长度，所以正方形的井盖就可能沿对角线方向掉入井中。如讲解黄金分割的美、优选法中的“折纸法”时，讲清其数学本质是“黄金分割点的再生性”，学生就能领悟到其中的数学之美。

3.介绍数学家在困境中如何创新，有利于美育教学

许多数学家曾经致力于欧氏几何中“第五公设”的证明，都遇到困难。罗巴切夫斯基则另辟蹊径，创造性地用另一公设替代“第五公设”，推演、创立了非欧几何体系，开辟出新的天地，体现了数学之美。这样的例子还很多，如人们在研究“哥尼斯堡七桥问题”时遇到困难，欧拉创造性地把地图抽象为“点线图”，把“不重复地走遍七座桥”抽象为“一笔画”问题，不但解决了问题，而且开创了有用的“图论”。

4.以游戏引课激发兴趣，有利于美育教学

兴趣是最好的老师，我们用“10秒钟计数”的游戏逐步引出斐波那契数列与黄金分割；还以“抓堆”游戏引出“解决关于自然数的问题”的四点规律，使学生感悟其中的数学之美。

5.组织学生的探究活动，有利于美育教学

在探究活动中学生可以进行创造数学美的实践。在“5个平面最多把空间分为多少个部分”的教学中，我们组织学生探究，生生互动，使学生经历猜测规律、证明结论的全过程，自己创造美的结果。

这种自主、有趣的教学氛围，不仅使学生感悟到那些具体的数学之美，而且普遍地调动了学生的想象力和创造力，为学生一般地进行数学美的体验和数学美的创造提供了较大的空间。

6.《数学之美》校内刊物及全校“数学之美论坛”

数学文化课在课外还延伸创办了本科生的校内刊物《数学之美》及全校“数学之美论坛”。刊物每年一期，至今己编发11期，已刊登本科生的文章421篇，共评选出一等奖37篇、二等奖69篇、三等奖93篇。全校性的大学生“数学之美论坛”已经办了9届，在论坛上作大会演讲的有35人，作分组会演讲的有73人。发文或演讲的学生都有较大的收获和成就感。

《数学之美》编委会由我校数学文化课程组和高等数学教学部的7位教师组成。每一期刊物在个人审稿的基础上还有两次集体审稿，对于初步录用的稿件都给作者发去“编辑部修改意见”的电子邮件。对于准备在论坛上做演讲的学生，我们会组织一次集体的试讲，对学生进行“材料如何选取、PPT如何制作及演讲技巧”的辅导。我们投入这么多时间、精力，完全是出于“全面育人、素质教育”的责任心。

四、数学文化课的美育效果

一些学生在“评课意见”中写道：“数学文化课立意非常好，又浅显易懂，还透着哲学的光芒，授之知识亦授之理性。上这个课每分钟都是过得有价值的。”“我从数学文化课中体会着原来没体会到的那一份数学的美丽。这份美丽像一本古书，一杯老酒，常看常新，久品久醇。”“数学文化课使我们感到数学学习不是枯燥的，数学逻辑不是冷酷的，数学是令人赏心悦目的。”

南开大学的“数学文化”课程2007年以来先后被评为“国家精品课程”“精品视频公开课”“精品资源共享课”，2014年获国家级教学成果二等奖。“数学文化十讲”慕课去年9月也在“爱课程”网“中国大学MOOC”平台开课。

近年来，南开大学的数学文化课受到许多兄弟高校肯定。包括清华、北大在内，笔者应邀到150余所高校及20多个全国性教改会议数学文化课程方面的报告；多家主流媒体报道了南开大学的数学文化课程。现在，文理交融的数学文化类课程已经推广到全国300余所高校。美育与德育、智育相互渗透，融合于数学文化课程之中，在更加广阔的天地开花结果。

[责任编辑：陈立民]