探析极大似然估计的解法

马莹

1821年，德国数学家高斯最先提出极大似然估计.1922年，英国统计学家费歇在他所写的文章中重新提出并进一步研究，极大似然估计这一名称也是费歇给的.极大似然估计法的思想：对参数进行估计时，总倾向于该参数可能取值范围内挑选出使样本发生概率的最大参数值.

一、极大似然估计法原理

已知甲乙两射手命中靶心的概率分别为0.9和0.4.今有一张靶纸的弹着点表明10枪6中.已知靶纸肯定是甲乙两射手所射.如果推测，则最有可能是谁射的？

从直观上看，甲的枪法属上乘，命中靶心率为0.9，不至于打得那么差，而乙的枪法不足以打出这么好的成绩，但二者取一这更像乙所射.那么计算一下可能性.

L（θ）则为定义的似然函数，那么问题转化为求θ使L（θ）最大.

求最大似然估计的一般步骤如下：

步骤1：由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合概率密度）；

步骤2：把样本联合概率函数（或概率密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看成自变量，得到似然函数L（θ）；

步骤3：求似然函数L（θ）的最大值点；

步骤4：在最大值的表达式中，将样本值代入就得参数θ的最大似然估计.

三、似然函数的计算方法

1.微分法

当似然函数关于参数可导时，常常通过取对数求导来求得极大似然估计.观察似然函数L（θ）>0，当L（θ）最大时，即lnL（θ）.令lnL（θi）θi=0，则θ有可能为极值点.0-1分布和指数分布是概率论中常见的分布，下面以似然估计法来解决未知参数，根据极大似然原理，给出常见分布的参数估计.

2.定义法

若似然函数单调无驻点或不可导时，并不说明最大似然估计法失效，只是说明不能用微分法来计算，只能根据最大似然估计法原理进行直接计算.

所以似然函数在p=rsx附近达到最大值，p=rsx，代入已知量可得p=500，所以蜂箱中有500只蜜蜂.

本文从生活中的实例引发极大似然估计的概念，这样加强学生对知识的理解以及概念的理解，同时教学过程显得融会贯通.本文给出了极大似然函数的常见解法，当然还有些似然函数无解，以及不是唯一解的情况，这还需要进一步探讨.极大似然估计求出的是一种统计量，要知道所求估计量的优劣，还需考察无偏性、有效性、一致性等评判标准，它的误差大小还要做区间估计.