极值思想在高中数学教学中的应用与实践

张启飞

随着新课程标准的提出，要求数学课堂模式进行整改，以学生为主体，让学生感受新型课堂的魅力.在教学过程中，不仅要培养学生的解题能力，更要注重提高学生的数学思想意识.而极值思想作为高中数学众多解题思想的重要组成部分，在高中数学各类知识中应用较为广泛，老师要引起高度重视，选择合适的时机适当地向学生们渗透极值思想的运用原则以及使用环境，用以提升学生的解题能力.本人具有多年的高中数学教学经验，对极值思想在高中各部分知识的应用具有一定的研究，下面分享几点，不足之处，敬请斧正.

一、简化解题，巧求解集

极值思想的应用十分广泛，在某些求不等式的解集以及变量的取值范围的题目中经常出现.极限思想就是可以直接拿来的解题工具，只要学生能够在题目中分清两种极限，再对这两种极限分别进行讨论得出相应的结果，就能够起到简化解题的作用.不仅能够帮助学生简化计算过程，还能够起到化难为易的作用，有利于学生深化解题思维，使学生能够轻松地解决复杂问题.

例1 （人教版数学不等式习题）对于不等式logx+2>0的解集是

A.[2，3） B.（2，3] C.[2，4） D.（2，4]

根据题干，我们就可以发现这道题目是道简单的求解不等式解集问题，在各类考试中尤其是高考中也是时常出现的.解决这种以选择题的形式出现的不等式解集问题，我们可以不必非得按部就班根据求解应用题的方式来求出真正的解集，可以只通过对选项的内容进行逐一判断，就能够得出正确答案.而这道题考查的方式就是通过变量字母并根据其区间的端点以及端点的极限情况来解题，我们就要利用选择题这个优势来解题.一般情况下，可以采用直接代入选项的方式，来求证答案是否正确.选取选项中几个特殊的数值，代入表达式中，再进行验证，就会得出结果，然后再进行排除.首先，以选项中的2为例，即当x无限趋近于2时，左边结果趋近，且当x=2时，不等式有意义，因此可以排除选项B、D.接着，再以选项中C为例，即当x无限趋近于4时，不等式是成立的，再根据选项内容，就可以得出选项A是错误的.最后再通过排除法，就可以轻松地得出选项D是正确的.

很多学生之所以不能正确解题的原因，就是他们的思想太过死板，非得通过正常的计算来求出解题范围，而此题仅通过计算来求出结果是十分困难的.但是，利用上述那种解题方式就可以看出，解决选择题是可以利用技巧的，排除法就是其中之一.通过对其它选项的判断与排除，选出正确的答案，这是一种快速解题的方式，需要各位学生都能够轻松掌握并灵活应用于解题当中.

二、优化过程，速求范围

在立体几何的相关问题中，也可以使用到极值思想.利用运动变化的观点可以对某些特殊的位置进行判断，这些位置的选择就是利用了极值的思想，能够帮助同学活化思维，发现问题的解题思路，培养思维的灵活性.

例2 （人教版数学立体几何习题）设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=（S1+S2+S3+S4）/S，则λ一定满足

A.2<λ≤4 B.3<λ<4

C.2.5<λ≤4.5D.3.5<λ<5.5

这种题目，对于空间想象力不足的同学，可以在演算纸上先画出一个四面体PABC，再对各个面进行相应的标记，明确哪个面为S1、S2、S3、S4，然后再进行题目解析，选择合适的解题方案.由于四个面的面积都是不确定的，我们可以设置一个最大面，然后再进行极限讨论.我们可以先进行假设，令底面ABC的面积最大为S，接下来我们只需要想出在此条件下的两种极端情况即可.如果四面体是一个正四面体，那么四个面的面积一样大，经过计算我们就可以得出λ的最大值为4.而当顶点P无限接近于底面ABC时，那么四面体的三个侧面PAB、PBC、PCA也都会随之而无限接近于底面ABC，此时，再代入公式之中，进行计算，就可以得出λ无限接近于2.通过这两种极限的分析，我们就可以得出正确答案为A.

这道题的解题方式就采用了极限的思想，先假定一个面的面积最大，然后再考虑两种极端情况，求出λ，这样就具有代表意义，相当于直接求出了答案.解题十分快速，只是需要进行的思考较多，考查了学生的空间想象力.

三、化动为静，判断位置

在平面几何以及解析几何的很多问题中，极限思维的使用也能够起到简化解题步骤的作用，帮助学生能够准确快速地进行判断，得出最佳的解题思路.通常是首先对某种极限情况进行考察，再将问题过渡到一般情况，使复杂的问题简单化，学生解决起来也会相对容易.

例3 （人教版数学解析几何习题）设双曲线的左右焦点分别为E、F，左右顶点分别为M、N，若果三角形PEF的顶点P在双曲线上，则三角形PEF的内切圆与EF边的切点位置是

A.在线段MN的内部 B.在线段FM或者FN内部

C.点N或点MD.不能确定

这道题也是需要同学们自行画出示意图，才能够顺利地解决问题.其中，E、F、M、N是定点，只有点P在双曲线上移动.我们就可以对P点的极限位置进行讨论，当点P无限接近于点M或者点N时，则三角形PEF的内切圆与边EF的切点位置无限趋于M或者N.而另一种情况就是，∠EPF趋近于0度，可计算出FP的长度等于F到三角形PEF的内切圆切线的长度.经过这两种情况的分析，我们就可以猜出正确答案就是选项C.

因为这道题是属于客观题，我们要选择最简单的方法来解题，从而节省时间.本题是一道动态的题目，我们要选取其中的两个极限位置进行判断，由于具有代表性，解题就方便很多.其次，我们要有选择性的进行解题，采用上述方式能够简化讨论过程.但是如果此题采用常规的方法进行解题，计算量就会相当大，学生做对的几率就会很小，错过取得高分的机会.

极限思想是一种基本而又重要的数学思想，我们在课堂教学以及习题训练中，都要适当地向同学们渗透这一思想的使用方式，给学生的解题带来便利.老师也可以为学生，多多选取一些具有代表性的题目，训练他们的极限思维，让他们能够主动地应用这一思想，将其内化到各类题目解题过程中去，为将来数学取得高分打下基础.