例举函数与立体几何易错点问题

李元平

学生对数学题有时会产生错解，给解题过程带来没有必要的失误.学生应认真理解数学知识基本概念、规律和方法，加深题型的考查分析、综合应用.现对三角函数与立体几何的例题进行阐述，分类并作出解法探讨.

易错点1 忽视函数“变形”中的“变性”

易错点4 分类分析不到位

例4 已知四边形ABCD的四个角∠CDA、∠BCD、∠DAB、∠ABC都是直角，求证ABCD是矩形.

错析 有的学生对图形分析不够全面，因为图形的一般性与特殊性都需要思考，必须要进行分类讨论，有的学生对分类讨论既欠缺讨论行为意识，又没有真正弄明白为什么要分类讨论而且依据是什么也不知道.

剖析 根据题意，既要考虑到四边形ABCD可能是平面四边形，又要考虑到四边形ABCD有可能也是空间四边形.若ABCD是平面四边形，容易得到它是矩形.

解 若ABCD是空间四边形的时候，那么C点就在平面ABD外面.（如图5所示）设C′是C在平面ABD内的射影，因为AD面ABD，CC′⊥面ABD，CD⊥CD，所以C′D⊥AD，C′B⊥AB.

则ABC′D是矩形并有CD>C′D，CB>C′B，

所以CD2+CB2>C′D2+C′B2.

连结BD，在△BCD中，因为∠BCD=90°，

所以CD2+CB2=DB2=C′D2+C′B2，

这与CD2+CB2>C′D2+C′B2是矛盾，所以AB、CD并不可能是空间四边形，只可能是平面四边形，所以ABCD是矩形.

总之，当解题过程面对“错误”和“意外”事件时，教师选择逃避或强制学生接受都是没有把学生看作学习的主人.我们应该积极面对，尊重学生，了解他们的真实想法，拥有良好的心态和一双独具的“慧眼”，善待学生的“错误”和“意外”，把“错误”和“意外”看成宝贵教学资源让其发挥最大的功效.