一道典型考题对初中数学课堂教学的启示

陆惠刚

[摘 要] 典型考题的示范性和导向性是一线教师关注的焦点，典型案例的剖析是解题教学的重要组成部分，本文借助初三数学校际联考中的一道典型考题进行探究，根据学生解答中暴露出来的问题进行思考，提出对初中数学课堂教学的几点启示，以期达到教学相长的目的.

[关键词] 典型考题；初中数学；启示

在现行的评价体制下，考试是衡量教师教学效果和学生学习效率的一种方式. 在初中数学课程教学中，解题教学是数学教学的重要组成部分，教师和学生对典型试题的探究话题一直没有停止过，典型考题的示范性和导向性对课堂教学效率的提升有着十分重要的意义和价值. 笔者在从事初中数学教育教学的过程中，不断关注初中数学课堂教学的实效性. 本文借助初三年级校际联考中的一道典型考题，针对学生解答得分较低的现实进行思考分析，重点阐述考题背后隐藏的实用价值，以及给一线数学课堂教学带来的启示，以飨读者.

典型考题的回顾与分析

试题 （2015年初三校际联考）某水产养殖场计划用总长度为80 m的钢丝网在水库的岸堤一边围成一定的矩形区域，如图1，其中矩形区域甲、矩形区域乙和矩形区域丙的面积相等，令BC=x（m），矩形区域ABCD的面积为y（m2）.

（1）求矩形区域ABCD的面积y与线段BC的长x之间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）；

（2）当x取何值时，y取得最大值？并求出最大值.

剖析 从表面看，本题主要考查学生根据实际问题列出二次函数解析式且求出最大值，体现了二次函数在实际问题中的应用，这也是初中数学课程教学中的重点内容之一. 本题的情境创设一般，但内涵丰富多彩，题中涉及数学建模思想（生活实际问题抽象为函数模型和方程模型）、转化与化归思想（“未知”向“已知”的转化）、数形结合思想（抽象的数式与直观的几何有机结合，运用于实际问题之中），本题作为函数应用题，具有较高的考查价值！命题者以围成面积为探究载体，针对课本习题进行变化与引申. 该题由苏科版九年级（下册）第六章“二次函数”第8页习题第5题强化、拓展、引申而来：“如图2所示，用50 m长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，试写出矩形花园的面积y与一边长x之间的函数关系式.”显然，考题是在课本习题构建模型基础之上拓展而来的，虽然考查的难度有所加强，但学生总是感觉“似曾相识、就在身边”，可谓是“源于课本，高于课本”，这也是命题专家一直倡导的命题理念，同时也符合新课改“立足基础、注重能力、渗透思想、力求创新”的具体要求，考题“示范性、指导性”的教学功能尽显无遗.

学生解题错因分析与思考

命题者习惯于设计现实情境融入数学问题中，体现数学实际应用意识；学生倾向于从现实生活的角度去思考问题的情境，对题目情境的领悟是学生正确分析问题的关键；题目中设置的面积相等的三个区域结构不同也给学生构建二次函数应用模型带来了一定的困难，学生解题中出现的主要错误现归类如下：

（1）思维定式的负迁移影响，缺乏设置辅助元的意识，缺乏将生活实际问题向数学问题的转换能力，思维混乱现象严重. 题目中利用一定长度的钢丝网围成面积相等的三个区域是构建二次函数模型的重要信息，部分学生胆怯于同时设置AE和EB为未知字母参与数学运用和推理，从而导致试卷出现空白的现象大有人在. 当然，有部分学生能够大胆假设出AE和EB的长度，但在数学表达式表示问题条件和结论上比较混乱，不明确辅助元向“x”化归，出现思维受阻的现象，解题思维混乱，导致错误！

对数学课堂教学的启示

从教师的角度来看，该题属于中档题，但是学生解答的得分率让人“瞠目结舌、十分遗憾”，体现出学生的数学思维存在一定的缺陷，这说明我们一线数学教师教学中存在严重的失误与不足. 在实际教学中，如何解决这种顽疾呢？下面提出自己的几点拙见.

1. 在数学课堂教学中，注重学生认真、仔细阅读题目习惯的培养

在处理数学问题时，学生理解与分析问题的能力、数学建模能力的提升离不开阅读理解能力的培养，文中考题的第一问错误率较高，主要是由于题中AE，AB，x之间的等量关系相对比较隐蔽，若不能认真、仔细地阅读题目，就不能有效挖掘已知量与未知量之间的数量关系，正确解题难以实现. 这就要求数学教师在课堂教学中，应给予学生充足的时间仔细、认真地阅读题目，指导学生挖掘题目中的关键词，搞清问题的实质；要求学生利用自己的语言描述已知量与未知量之间的数量关系；引导学生根据实际问题构建相应的数学模型，通过对问题的提炼，帮助学生理解数学问题中字母表示数解决问题的情境与本质，让数学思考和数学理解有效融入实际问题之中.

2. 在数学课堂教学中，让学生体验数学建模和知识应用的全过程

从实际情境中抽象数学问题，实现数学思维过程的表达，在此过程中利用数学符号构建函数方程和不等式，体现数量关系和变化规律，有助于数学模型的有效构建和学生数学思维能力的提升. 当前，很多数学教师在课堂教学中，难以寻觅学生思维活动过程的痕迹，取而代之的是各种解题类型和方法的介绍与训练，忽视解题过程的分析和解题思维的培养，学生获取的是“思维结果”，缺少“思维过程”的体验，从而导致学生思维方法、开拓创新意识与能力的缺失. 在新课改背景下，初中数学课堂倡导的教学程序为：“创设问题情境→构建数学模型→分析模型→解决问题→归纳总结、提升拓展”，在具体的数学教学过程中，以学生为中心，以问题为主线，以培养学生能力为目标组织有效教学，让学生经历数学建模和知识应用的全过程，进而掌握数学基础知识，熟悉基本技能，理解基本规律，积累处理问题的经验，最终实现分析问题和解决问题能力的提升.

3. 在数学课堂教学中，重视建模思想的渗透，助推思考能力的发展

一次考试是短暂的，但是考后暴露的问题留给教师和学生的思考却有深远的意义. 从学生对考题的解答中，不难发现部分学生不会利用联立方程求解矩形的边长关系，这充分说明学生缺乏建模思想意识，不能数学地思考实际问题. 新课改明确指出：“思考是数学学习的本质，培养学生的思考能力是数学教学的重要目标. ”作为一线数学教师，在课堂教学中引导学生处理实际问题时，要善于渗透建模思想，注重方程、不等式、函数等模型在实际问题中的应用方法介绍，真正让学生做到数学知识与规律的理解有“源”、运用有“根”、拓展有“魂”.

总而言之，课本案例和典型考题都是一线教师进行有效教学的价值资源和素材，初中数学教师在平时的教学中应注重对这些资源进行思考与分析，挖掘其中蕴藏的本质规律和价值信息，灵活应用于实际问题的处理中，进而促进初中数学课堂教学效益的最大化，推动素质教育的进一步发展.