用好“变式”理解概念

【摘要】变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一，其中直观变式有利于“形成”概念，正例变式有利于“同化”概念，反例变式有利于“精致”概念。用好“变式”教学，能使数学概念的理解和概括精确化，提高概念教学的有效性。

【关键词】变式；理解；概念

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）11-0038-02

【作者简介】黄伟星，江苏省无锡市教育科学研究院（江苏无锡，214000），高级教师，无锡市数学学科带头人。

数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。小学数学中有大量的概念，它们是数学基础知识的重要组成部分，也是导出数学定理和数学法则的逻辑基础。变式教学则是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明概念的本质属性，或变换概念的非本质特征以突出本质特征，使学生理解概念的本质特征，辨别其非本质特征，从而形成概念。下面，笔者就小学数学概念教学中的“变式”教学谈点看法。

一、通过直观变式突出概念的本质属性，形成数学概念

数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多数学概念又直接来自具体的感性经验，因此，概念形成的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。

顾泠沅的研究表明，影响学生掌握几何概念的主要因素有三个：已具备的图形经验、概念的叙述以及掌握概念所依据的图形变式。以学习苏教版四下三角形概念为例，教师通常会借助于下面两类变式：一是通过日常生活中的直观材料组织已有的感性经验，使学生理解概念的具体含义；二是利用不同的图形变式，作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形直观材料的水平，进而掌握概念图形的基本特征，准确地把握概念的外延空间。具体步骤如下：（1）分化出概念例证中的各种属性。学生在引入环节已经感知生活中的各种三角形，此时教师就需要引导学生抽取出大小、三条线段、三个角、角有大小、图形封闭等各种属性。（2）概括出例证的共同属性，并提出关于它们的共同本质属性的种种假设。上例中，共同属性有：三条线段、三个角、角有大小、图形封闭、平面图形。共同本质属性可以假设为：三条线段，三个角，图形封闭，平面图形，等等。这里，提出本质属性假设的方法是一条或几条共同属性的结合。（3）检验假设，确认关键属性。检验过程中，采用变式是一种有效手段。如上例中，通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可以确认为共同本质属性。（4）完成本质属性的概括，形成概念。验证了假设以后，把本质属性抽象出来，并区分出有从属关系的本质属性，用语言概括成为概念的定义。

这里必须强调的是，在概念的形成阶段，具体或直观变式的主要作用是建立感性经验与抽象概念之间的联系。由于数学概念的本质是抽象的，因此，在教学的适当阶段还应尽可能摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平。

二、通过正例变式突出概念的外延，同化数学概念

数学概念的建立一般有两种教学方式：一种是以概念形成方式进行教学（如上例中三角形概念的学习），一种是以概念同化方式进行教学。如果采用概念同化方式进行教学，则需要完成如下几个步骤：（1）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质属性。（2）揭示概念的关键属性，给出概念的定义、名称和符号。（3）使新概念与认知结构中已有的有关概念建立联系，把新概念纳入到已有的概念体系中，同化新概念。（4）用肯定例证与否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。

同化概念学习过程中的教学变式主要包括两类：一类是属于概念的外延集合的变式，称为正例变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式；另一类是不属于概念的外延集合的变式，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式。在两种正例变式中，标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延，解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性。以“三角形的分类”教学为例，用好、用足正例变式。在学生获得三角形的概念后，学生学习锐角三角形，直角三角形和钝角三角形等概念，就属于概念的同化方式，这是由一般到特殊，经演绎方式获得概念的一种形式。教学设计如下：（1）分类。呈现多个三角形，引导学生关注到三角形中的角有大小，并数出三角形中各有几个锐角、直角和钝角；接着填写表格，引导学生进行观察和分类。（2）下定义。根据分类，发现锐角、直角、钝角三角形中角的本质特点，给出定义。（3）同化。通过比较，进一步明晰概念，并理解这三类三角形和所有三角形的关系，即把所有的三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。（4）变式。可以设计这样一些练习，首先是直观判断练习，练习形式有画一画，连一连，围一围等。其次是操作练习，练习形式有折一折，剪一剪，画一画等。例如：在直角三角形中画一条线段，把它分成两个三角形。最后是拓展练习，练习形式有猜一猜。例如，先呈现三角形中的一个钝角，使学生体会到如果三角形中有一个角是钝角，那么这个三角形是钝角三角形；再呈现三角形中的一个直角，使学生体会到如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；最后呈现三角形中的一个锐角，使学生体会到光凭三角形中的一个锐角是无法判断的，还要看其他两个角，如果三角形中的三个角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。进一步让学生体会到，如果三角形中最大的一个角是锐角，那么这个三角形也是锐角三角形。通过正例变式，学生掌握了这些“如果……那么……”形式的句子，就掌握了三角形分类的概念。

三、通过反例变式明确概念的内涵，精致数学概念

概念的内涵与外延是对立而统一的，内涵明确则外延清晰，反之亦然。因此，概念的教学要在内涵上下功夫，使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界。

不管是形成概念还是同化概念，教学中都要善于应用反例变式精致概念，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系；另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现的混淆，从而确切地把握概念变式的本质特征。这类反例变式一般有两个来源：一是来自概念之间的逻辑关系；二是基于学生常见的错误。还有一种形式是让学生举出不合某属性的例子。例如，高年级的学生都能认识到正多边形的各边相等，各角相等。教学中，可以出示“各边都相等的多边形是正多边形”这一命题引导学生判断是否正确，如果正确，请说明理由，如果不正确，请举一反例。在去掉本质属性“各角相等”后，学生需要对各边都相等的多边形进行多次的检验、选择、批判，从而明白哪些是本质特征，哪些是非本质特征，再举出反例，典型的反例是“菱形的各边都相等，但它不是正四边形”。这一思考过程，学生思维的批判性和创造性也得到了很好的培养。从而明确如果一个多边形的各边相等，各角相等，那么这个多边形是正多边形；反之如果一个多边形是正多边形，那么这个多边形各边相等，各角相等。通过反例变式，再次使学生掌握“如果……那么……”形式的句子，理解正多边形的本质特征。

总之，在数学概念的理解和掌握过程中，直观变式有利于“形成”概念，正例变式有利于“同化”概念，反例变式有利于“精致”概念，从而尽可能避免非本质属性泛化的错误，使数学概念的理解和概括精确化，提高概念教学的有效性。