永磁同步电机振动特性模态研究*

黄克峰，徐　晔，王金全(解放军理工大学国防工程学院电力与智能化教研中心，江苏南京　210007)



永磁同步电机振动特性模态研究*

黄克峰，徐晔，王金全
(解放军理工大学国防工程学院电力与智能化教研中心，江苏南京210007)

摘要:运用机电类比的方法推导了定子固有频率的计算方法，用ANSYS软件对电机定子建立了的三维有限元模型进行了模态分析，计算出了它们的固有频率及其振型，避免和电磁力的频率及次数发生共振，从而降低永磁同步电机的电磁振动和噪声。

关键词:永磁同步电机;固有频率;模态分析

王金全(1963—)，男，博士，教授博士生导师，研究方向为微电网系统设计和分析。

0　引言

20世纪80年代，D.A.Glasgow、H.D.Nelson提出了部件模态综合技术［1］，R.S.Girgis、S.P.Verma考虑了铁心齿、绕组和机座的作用，提出了计算电动机定子固有频率和振动特性的公式［2］。进入21世纪，在国外，S.A.Long和Z.Q.Zhu等人采用有限元法分析了硅钢片材料的各向异性和绕组对开关磁阻电机结构固有模态的影响，并通过锤击模态试验证明了分析的正确性［3］。英国谢菲尔德大学的博士生Jason D.Ede用有限元法计算并且实测了转速为120 000 r/min、功率为1. 25 kW的无刷永磁电机转子的固有频率，评估了转子有效长度、直径、轴伸量、轴承和材料特性对转子固有频率和模态振型的影响，但只介绍高速转子固有频率的计算，没有考虑陀螺效应问题［4］。在国内，华中科技大学孙剑波、河海大学王忠建等学者也分别对开关磁阻电机定子结构的固有模态进行了分析［5-6］。哈尔滨工业大学的博士生代颖采用有限元法具体分析了电动汽车驱动用感应电机各部件对其固有模态的影响，机壳和端盖对电机结构固有模态的影响最大，转子结构对电机结构固有模态的影响也不可忽略。国内外专家学者对各种电机的模态分析进行了很多研究，但是对于永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)却研究得比较少。

PMSM结构的模态分析是判断电动机定子结构是否发生共振的重要手段，电机的电磁噪声和振动主要是通过定子、壳体向外辐射。本文主要是对电机定子结构进行模态分析，由于电机结构的几何特性决定着定子沿轴向的刚度是变化的，所以采用三维结构有限元模型来分析电动机定子及机壳结构的模态。

1　电机结构的模态分析理论

PMSM模态分析的关键在于找到模态振型矩阵，以构成模态坐标系统，并求得响应量在这一坐标系统中的坐标，具体过程如下［7］:

(1)寻找各阶模态振型，组成坐标变换矩阵{Ψr} =［{Ψ1} {Ψ2} {Ψ3}…{ΨN}］。

(2)进行坐标变换{ X} = {Ψ} { q}。

(3)求取模态坐标qr，r = 1，2，3…N，从而得到{ q}。

(4)建立响应计算模型——模态模型;运用模态模型，便可计算在实际激励作用下的结构的运动，包括位移、速度、加速度，乃至应力应变。

PMSM定子振动中，除了由电磁力引起的强迫振动，还有自由振动。下面分析永磁同步电机的自由振动特性。根据质点运动方程可得系统的自由振动方程为

该方程的通解形式为

式中: C1、C2——由系统初始条件决定的常数。

这里定义使得(rc/2m)2－k/m = 0的rc为临界阻尼系数，阻尼比ζ= r/rc。

故运动方程的解可表示为

对于无阻尼运动，ζ=0;对于欠阻尼运动，ζ＜1;对于临界阻尼运动，ζ=1，对于过阻尼运动，ζ＞1。在实际的振动系统中，一般都是欠阻尼运动，否则就不会形成振动了。对于欠阻尼情况，ζ≪1，运动方程的解可写为

式中: C'1、C'2、X0、φ0——由初始条件决定的常数，

对于初始条件x(t =0) = x0(t =0) =，则C'1= x0，C'2=。故系统运动方程的解为

2　 PMSM振动特性的机电类比分析

永磁同步电机一般选用同容量的异步电机机座，定子铁心与机壳内圆采用过盈配合，无连接筋。设定子铁心轭的刚度为K1、质量为m1，机壳的刚度为K2、质量为m2，不考虑绕组、定子凸极的影响，散热筋、底脚、接线盒的质量归入机壳质量;并设各部分的阻尼系数分别为rm1、rm2(假设各部分阻尼比为粘性，且等于钢或铸铁的阻尼比)，则其物理模型、机械网络图、等效电路图如图1所示［8-9］。

图1　电机定子机电类比双环型模型

图1中P0为作用在定子铁心内表面上单位面积力的幅值，Pn为等效的集中力，即:

式中: Ri——定子磁轭的内半径;

la——定子铁心轴向长度。

由机电类比法［8］可得对应角频率w的总机械阻抗为

则定子振动位移的幅值为

其中，铁心及机壳的刚度和质量为［3］

J1——铁心磁轭轴向截面对其轴向中心线的惯性矩，即: J1=(h3csla) /12，hcs为等效的铁心轭厚，la为定子铁心轴向长度;

J2——机壳轴向截面对其轴向中心线的惯性矩，即: J1= (h3fslf) /12，hfs为机壳轭厚，lf为机壳长度;

Fn1、Fn2——铁心和机壳的轭厚与平均半径之比的函数;

R1、R2——铁心磁轭和机壳的平均半径;

G1——定子铁心的总质量;

G2——机壳、接线盒、底座的总质量;

n——振形阶数。

设定子铁心、机壳的阻尼比ζ1、ζ2为黏性，则阻尼系数为

令机械阻抗的虚部为零，可求得定子的固有频率为

将式(8)、式(9)代入式(7)、式(11)，可得电机强迫振动幅值和固有频率为

式中: E1、E2——铁心材料和机壳材料的弹性模量;

共振时，定子振动位移的振幅为

由式(13)可得PMSM轴向阶数为零的平面振动特性［9］，即:

(1)振动幅值与力波幅值成正比，因此减小力波幅值是控制振动的主要措施。

(2)随着振形阶数n的增大，对应的固有频率近似以n2的比例增大，而振幅则近似以n4的比例减小，因此，阶数较低的力波引起的振动应是防范的重点。

(3)定子直径越大，固有频率越低，亦即当激励力的振幅、频率均相等时，几何尺寸越大的电机，振动幅值越大，因而磁噪声级亦越大。

(4)振动大小与振动系统的阻抗Zm关系很大，阻抗表明振动系统接近谐振的程度;谐振时振动甚至在小的电磁激振力时都可能很大，因此，使固有频率避开主要的力波频率是减小振动的主要措施之一。

(5)共振时激振力波与振动速度同相位，这时振动幅值完全由阻尼限制。

3　有限元法分析PMSM定子模态

目前，理论计算固有频率的方法有两大类:一类是解析解计算方法，典型的是机电类比法，该方法可以得到固有频率的解析表达式，但是计算精度较差;另一类是能量法，有两种解法，一种是傅里叶级数解法，另一种是有限元法。一般情况下，两种解法都不能得到解析解，而只能得到数值解。在定子结构对称时，傅里叶级数的求解精度可满足一般工程上的要求。有限元解法可以考虑定子结构的不规则性，其计算精度较高。由于电机结构复杂，用解析法计算虽然简便，但计算误差较大，因此本文采用有限元方法仿真计算了电机的模态，研究了电机的定子铁心的模态。

ANSYS产品家族的模态分析是线性分析。任何非线性特性，如塑性和接触(间隙)单元，即使定义了也将被忽略。

需要记住以下两个要点［10］:

(1)模态分析中只有线性行为是有效的，如果指定了非线性单元，他们将被当作是线性的。例如，如果分析中包含了接触单元，则系统取其初始状态的刚度值并且不再改变此刚度值。

(2)必须指定弹性模量EX(或某种形式的刚度)和密度DENS(或者某种形式的质量)。材料性质可以是线性的或非线性的、各向同性或正交各向异性的、恒定的或与温度有关的，非线性特性将被忽略。用户必须对某些指定的单元(COMBIN7，COMBIN14，COMBIN37)进行实常数的定义。在上面有槽圆筒型永磁直线电机分析的基础上，进一步分析电机的极弧系数、永磁体厚度和气隙长度对三种圆筒型永磁直线电机气隙磁场的影响。

3.1基于能量法的电机振动模态的有限元分析模型

能量法的基础是拉格朗日方程。在能量法计算中，一般用广义坐标来描述系统，将系统的动能和势能等表示为广义坐标及其导数的函数［11］。系统的拉格朗日运动方程可表示为

式中: L——拉格朗日函数L = T－U;

T——系统动能;

U——系统势能;

Fi——系统非保守广义力;

qi——广义坐标，i =1，2，3…。

在有限元解法中，单元的动能为

势能为:

式中:δ——单元节点位移向量;

ρe——质量密度;

N——形函数;

B——应变矩阵;

D——弹性矩阵。

代入拉格朗日方程，可推导出单元的质量矩阵为

单元的刚度矩阵为

依据Hamilton原理和应力-应变、应变-位移的关系［7］，导出电机离散后单元的运动方程为

式中:［K］——刚度矩阵;

［R］——阻尼矩阵;

［M］——质量矩阵;

{ u}——节点的位移矢量;

{ F}——节点的力矢量。

将各个离散的单元方程组联合成总的系统方程组，经过整理则可得出系统标准的运动方程为

对电机结构的有限元分析可以获得电机的振动模态和固有频率。固有频率的计算一般为无阻尼自由振动频率，故在式(20)中，令{ F} =0，时间倒数(·)用jw代替(w为角频率)，则电机结构的无阻尼自由振动模态分析对应的特征值问题为

根据线性方程组理论有非零解的充分必要条件为

解出满足方程(21)和(22)的频率w2和对应的非零解向量{ ur} (r = 1，2，3…)，则wr，{ ur}分别为电机结构的固有频率和固有振型。

有限元法ANSYS软件提供了子空间法、分块Lanczos法、Power Dynamics法、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法7种模态提取方法。大多数分析都选用前四种求解方法，非对称法和阻尼法只在特殊情况下会用到。本文主要采用分块Lanczos方法对问题展开求解。此方法应用于提取大模型的多阶模态，经常应用在具有实体单元或壳单元的模型中，特别是在模型中包含形状较差的实体和壳单元，它的计算速度很快，但要以消耗内存为代价［12］。

分块Lanczos法的特征值求解器采用缺省求解器。它采用Lanczos算法，是由一组向量来实现Lanczos递归运算。这种方法和子空间法一样精确，但速度更快。无论EQSLV命令指定过何种求解器进行求解，分块法都将自动采用稀疏矩阵方程求解器。计算某系统特征值谱所包含一定范围的固有频率时，采用这种方法特别有效。计算时，求解从频率谱中间位置到高频端范围内的求解收敛速度和求解低阶频率时基本上一样快。因此，当采用频移频率(FREQB)来提取从FREQB(起始频率)的模态时，提取大于FREQB的n阶模态和提取n阶低频模态的速度基本相同。在本章的计算中均采用了这种方法。

3.2定子铁心的模态分析

利用ANSYS对2极18槽PMSM的定子进行模态仿真，电机定子铁心的弹性模量通常取(2.05～2.15)×1011N/m2，密度为7 305 kg/m2，泊松比是0.3。采用有限元软件进行模态仿真时，模型选用的单元类型为PLANE82，分析类型选用分块的兰索斯(Block Lanczos)法，求解的模态数选择为40，扩展的模态数选择为40。2极18槽永磁同步电机定子铁心三维有限元模型如图2所示，模态分析后得到的不同固有频率以及不同阶振型如图3所示。

图2　定子铁心三维有限元模型

由表1中可以看出三维定子模型更加接近实际模型，可以得到丰富的模态和固有频率信息，有些频率相近，这是由于电机定子结构是对称的，会出现振型和频率相同但相位不同的情况;考虑永磁同步电动机定子结构的固有模态，这样有利于避免电磁共振，减少振动幅值，从而有利于降低电磁振动和噪声。

表1　永磁同步电机定子三维模型的振型和固有频率

4　结语

本文得出模态分析的一些理论依据，利用有限元分析软件ANSYS建立了2极18槽永磁同步电机样机定子的三维有限元模态分析模型，计算得到了样机的振型及振动固有频率，从而为该种电机避免共振起到了预见性作用。对不同结构高转速、低噪声的PMSM避免共振和设计提供参考。

【参考文献】

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［12］佟宁泽.大中型感应电机电磁力及定子振动分析［D］.沈阳:沈阳工业大学，2006.

图3　定子铁心模态分析的固有频率及振型

Vibration Characteristics Modal Research of Permanent Magnet Synchronous Motor

HUANG Kefeng，XU Ye，WANG Jinquan
(Engineering Institute of National Defense，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China)

Abstract:The electromechanical analytical method was used to derive the calculation method of the natural frequency of the stator，and the ANSYS software was used to set up motor stator three-dimensional finite element model and model analysis，calculate the natural frequency and vibration mode，avoid resonance vibration with the frequencies and force wave exponent number of electromagnetic force which could reduce electromagnetic vibration and noise of PMSM.

Key words:permanent magnet synchronous motor(PMSM) ; natural frequency; modal research

收稿日期:2015-08-31

作者简介:黄克峰(1986—)，男，博士，讲师，研究方向为永磁电机设计和负载特性分析。

*基金项目:国家自然科学青年基金(51507180)

中图分类号:TM 351

文献标志码:A

文章编号:1673-6540(2016) 03-0022-006