创设“争议”情境，引导合理分类——以一道例题的教学为例

☉江苏省苏州高新区第一中学　杭超峰



创设“争议”情境，引导合理分类——以一道例题的教学为例

☉江苏省苏州高新区第一中学杭超峰

在我们所遇到的数学问题中，有些问题会因为题目条件的多重指向而导致结论不唯一，此时就需要我们对此中存在的多种情形逐一说明，这就是分类讨论.在初中阶段，对学生的数学学习和问题解决而言，分类讨论是一种重要而常见的思想，影响着学生对数学问题的解决和数学思维的发展.为了帮助学生充分感悟分类讨论思想，并形成分类讨论的自觉意识，我们可以在例题教学中有意设置有“争议”的情境，让学生体会到分类讨论的必要性和有效性.下面就结合一道例题的教学来谈谈笔者的做法，希望能给您带来一些启示.

一、一道例题的教学历程

1.例题及分析

例题如图1，作射线OC垂直于∠AOB的边OA，作射线OD垂直于边OB，猜想∠COD与∠AOB的数量关系并说明理由.

图1

分析：这道题目是在学生学习了相交线之后呈现的，意在帮助学生巩固垂线的作法、垂直的定义、同角的余角相等、互补的定义等知识.由于题目没有明确提出所要作出这些射线的具体位置，因此，解题时还需要对射线的位置进行分类讨论，此外，题中对“∠COD与∠AOB的数量关系”的探究还会涉及整体思想.显而易见，这道例题的解答不仅要用到学生近期获得的绝大多数几何知识，还需要学生具有较强的作图技能，对数学思想的应用也有着很高的要求.

2.例题教学简录及分析

教师首先安排学生自主阅读例题，并让学生将自己获得信息在小组中进行了交流.3分钟后，全班交流结束.

教师：根据题意，要解决这道例题，我们应该先做什么？

学生（齐）：作图！

教师：是的！我们应该先作出射线OC和OD.请一位同学来将射线OC作出来！

学生1到黑板上板演作图，当他从点O向上作出图2中的射线OC1后，立即回到自己的位置上.此时，部分学生在下面小声嘀咕，教师立即请其中一名学生发表自己的看法.

学生2：我觉得OC还可以从点O往下作.

教师：（很惊讶的样子）啊！这里难道还要分类讨论吗？

学生3：对！题中并没有明确OC的位置，只要满足“OC垂直于∠AOB的边OA”，怎么作都可以.所以，这里还可以从点O往下作出与OA垂直的射线.

教师：你来将它作出来.

学生3到黑板上从O点往下作出与OA垂直的射线OC2，如图2.

教师：OD又该怎么作呢？

学生4：根据作OC的经验，OD也应该有两个方向.

教师：哪两个方向？

图2

学生4：从点O往OB的左上方作垂线或者从点O向OB的右下方作垂线.

教师请这名学生在黑板上作出OD1和OD2，如图2.教师：你能清晰地（教师声调提高，语气加重）说出图2中∠COD与∠AOB的数量关系吗？

（由于多种情形混在一起，学生有些犹豫）

教师：原本简单的图1，在添加了四条射线后，复杂了不少，这给我们发现结论、说明理由带来了困难，有没有什么办法突破这一障碍呢？

学生5：我们可以将图形分类呈现.教师：好的！怎样分类呢？

学生6：可以根据线的方向分类.

教师：具体说说！

学生7：可以分为“从点O向上作射线OC1、OD1”（学生作图，下同，如图3），“从点O向上作射线OC1，向下作射线OD2”（如图4），“从点O向下作射线OC2，向上作射线OD1”（如图5），“从点O向下作射线OC2、OD2”（如图6）等四种情形.

图3

图4

图5

图6

教师：非常棒！因为作图产生“争议”，我们有必要根据射线的位置分类作图，并分别探究“∠COD与∠AOB的数量关系”.接下来，就请大家根据这四个图形逐一探讨.

……

简析：学生阅读例题，初步感知本题的条件和结论，知道问题解决过程中需要解决哪些问题，这是引发“争议”的起点.在接下来的教学中，教师追问“要解决这道例题，我们应该先做什么”，让“作图”这一“争议点”非常自然地走进了学生的视野.学生1的作图结果是教师能够预估到的，也是教师所期待的结果，只给出一个方向的OC，就给其他学生留下了探讨的话题，“OC还可以从点O往下作”随之出现，OC的两个不同位置随着学生思维争辩中很快得出.类比OC的作法，无用再议，OD也应有两种不同的位置.据此一幅包含所有情况的图形（图2）便展示在学生的眼前，用这幅图来解决问题显然不是教师想看到的.因此，接下来教师引导学生再次从“线的方向”对这个综合图形进行分解，有序地呈现出所有可能出现的情形（图3～图6），这四幅图成为学生解决问题的终极抓手，能够顺利求解自不必说.细细分析教师的教学历程不难发现，为了引导学生进行合理分类，教者将文本与图形紧密关联在一起，以一个有争议的话题引发了学生的思考，让学生在图文互换中感知到分类的必要性和有效性，进而形成了有理有据的四种情形.这样的教学，其成效必定是显著的.

二、三点感悟

1.创设合理争议焦点，引导学生经历分类讨论过程

例题是学生获得与应用数学“四基”的最重要的载体，是教师教和学生学的最主要的抓手.因此，例题教学也就应该成为教师渗透分类讨论思想的主要“阵地”.为了达成让学生感悟分类讨论思想的目的，我们设计教学时，应重视创设能够引发学生分类讨论的“争议点”，让讨论成为问题解决的自然需要，并随着问题探究的深入十分自然地“嵌入”到思路的分析与问题的解决过程中来.以上面的例题为例，题目难度并不大，但因为没有给出固定的图形，因而，作图就成为学生解题必须完成的步骤.当作图成为学生解题的需求后，怎么作就成为必须解决的问题，这时就要对可能出现的多种情形进行逐一讨论.分类讨论一点不“做作”地进入到问题解决的过程之中，一切都是那么地“水到渠成”.分析教学历程不难发现，执教老师对可能引发学生产生“争议”的焦点是非常清楚的，教学中，他首先让学生自己阅读例题，让他们对例题的条件和结论有了较为清晰的认识，接下来的引导看似随意之作，实则是一种“有预谋”的故意引导，学生在教师的追问下一步步走向了预设的“教学陷阱”，“还要分类讨论”的话题被顺利引出，“分类讨论是必要的”得到了全体学生的认同.在师生的共同努力下，所有的可能都呈现在图2中，复杂的图形让学生进一步体会到了分类的必要，在教师进一步追问下，分类的标准明晰了，所有的图形有序地展示在学生眼前.应该说，教师的引导与学生的展示在这则例题的教学中相得益彰，师生的共同努力使得分类讨论从“幕后”走向了“前台”.

2.坚持长期教学引导，帮助学生形成分类的意识

数学思想，一般与数学问题紧密关联.在初中阶段的教学中，我们一般会将数学思想教学融入到问题解决过程之中，以例题教学引导数学思想的自然渗入.分类讨论作为初中阶段最为重要的数学思想，理应成为教师教学的关注点，将其不断渗透到常态教学之中，以便学生在数学学习与问题解决中形成自觉的分类意识.为此，我们在进行教学设计时，应反复推敲即将落实的教学内容，找寻分类讨论思想的教学切入点，哪怕是极小的机会也绝不放过.比如，在“有理数”单元教学中，我们要始终将“可以从正反两个角度来分析问题”作为分类讨论教学的切入点，在教学绝对值时，要引导学生关注原点是数轴上正负数的分界点，绝对值为a（a>0）的数应分布在数轴的两侧，如此反复强调，遇到绝对值时，学生自然会形成自觉的分类意识；再如，在用“叠合法”比较线段大小时，在演示线段叠合前，我们可以提问“会出现哪些结果呢”，这样的问题是顺着情境出来的，十分自然，学生稍加思考便会给出“有三种结果”，此时教师稍加引导，便可抽象出两条线段间可能存在的三种大小关系，这是学生必须获得的基础知识，但比这些基础知识更为重要的分类讨论思想已经巧妙地渗透到教学之中.这样的例子还有很多，只要老师们在教学中能将分类讨论思想与知识教学、技能训练相机融合，分类讨论早晚会变成学生的自觉意识，进而转化为实实在在的学习力和解题力.

3.强化自主追问训练，培养学生完美求解的习惯

合作交流下的探究是学生获取数学结论的重要途径，本文中就是沿着这条途径完成例题教学的.然而，数学问题的解决并不可能都如本文中所叙述的那样顺利，数学结论的获得及应用，更多的还是要依赖于学生的独立思考.所以，我们应将发展学生独立思考的能力与习惯，作为数学教学的核心任务加以落实.较强的自主追问意识和能力是学生独立思考能力的重要组成部分，也是分类讨论思想得以“落地生根”的基本保证.因此，当下教学，我们应着力培养学生自主追问的习惯，要依靠例题教学与解题训练，强化自主追问训练.我们可以以数学问题的独立思考和自主解答为抓手，不断引导学生从问题的条件和结论两个方面展开思考，通过对问题的条件和结论的反复推敲，尽最大可能将所有可能的情形都囊括到学生个体的思维中去，从而实现数学问题的完美解答.为此，我们可以长期使用几乎一致的问题串引导学生展开思考，比如，还有其他情形吗？图形会不会变化呢？数值会不会改变？条件间还有其他组合吗？在学生获取解题思路和形成解题步骤的过程中，通过这些问题的反复追问，不仅可以有效避免漏解现象的发生，还能让学生感受到分类讨论的应用价值，形成严谨思考并完美求解的数学思维与解题习惯.

三、结束语

分类讨论是一种数学思想，从长远上看，它还是学生认知客观世界的一种非常重要的方法.因此，对分类讨论数学思想的教学应该引起包括笔者在内的所有一线教师的高度重视.为了让学生感悟这一思想，并形成分类的自觉意识，我们应与其他数学思想的教学一样，在细微处不断渗透：概念教学，巧妙创设争议情境，以分类讨论实现概念的完美生成；解题教学，合理编排教学例题，以分类讨论实现问题的完美解答；综合实践，灵活设计实践项目，以分类讨论展示数学的应用价值.总之，分类在生活中无处不在，为了使其数学味更浓，我们应从数学的角度设计有效的探究活动，让学生在应用数学知识解决问题的过程中，加深对分类讨论思想的认知，让他们深刻感悟到分类讨论的必要性和有效性，从而真正实现其在数学认知活动中的价值.