看透古典概型，做生活智者

周倩竹

古典概型源于实际问题，在生活中有着非常广泛的应用，属于概率论的基础内容之一.从实质来说，概率论只是将普通的随机事件精炼为计算，它使我们可以准确地确定某个事件发生的可能性大小，也就是让我们的“估计”更加准确.

一、古典概型简介

随机试验E，如果具有如下特征：

（1）有限性：试验的样本空间由有限个样本点构成；

（2）等可能性：试验中的每个样本点的发生是等可能的.

具有以上特征，则称E为古典型随机试验.这类试验是概率论最早研究的随机现象，通常把这类随机现象的数学模型称为古典概型.

二、古典概型的解法

1.定义法

由古典概型的概念，我们可以归纳出计算古典概型的解题步骤：

（1）根据题目要求，确定基本事件的个数和基本事件的总数；

（2）设出所求概率的事件A，首先要注意A是由哪些基本事件组成的；

（3）确定基本事件的总数与A中包含的基本事件的个数，计算P（A）.

例.在标准化的考试中，选择题一般包括单选题和多选题两种，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，很多学生会觉得，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么呢？

2.构造最优样本空间，以简化解题过程

在解古典概型的相关问题中，都会涉及基本事件总数和有利事件数这两个问题.选取样本空间成为计算的关键，从不同的角度考虑得到的样本空间也不同，进而解题的难易度也不同.古典概型样本空间的选取要满足两个条件：（1）样本空间中基本事件的个数是有限的；（2）所组成样本空间的各个基本事件是等可能发生的，并且基本事件的总数和有利事件数的相关计算要在同一个样本空间中进行.

例.袋子中共有m+n个球，其中m个黑球，n个白球.现把球随机一个个地取出不放回，求第k次取出的是黑球的概率（1≤k≤m+n）.

分析：（1）普通解法

考虑取球的顺序，题目要求第k次取出的是黑球的概率，其实相当于从m+n个球中任取k个球的排列，所以基本事件的总数为Akm+n.设事件A为第k次取到黑球，因为第k次取到黑球可以是m个黑球中的任一个，故有m种取法，其余k-1个球可以顺次从m+n-1个球中任意取出，有Ak-1m+n-1种取法.所以，事件A所包含的基本事件数为m·Ak-1m+n-1.

从上面可以看出，在某些情况下，样本空间的选取可以简化计算.

3.利用转化的思想，将非古典概率的问题转化为古典概率

有些求概率问题中所要求的是连续的事件，而非离散的情形，不满足古典概型的条件.若要使问题简单化，我们就要采用连续时间状态离散化的方法，将非古典概率的问题转化为古典概率，从而打破固定的思维.

例.小明和小丽约定在上午9时到10时之间到某站乘公共汽车，这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为9：15、9：30、9：45、10：00，小明和小丽约定：（1）见车就乘；（2）最多等一辆车.求小明、小丽同乘一辆车的概率.假定小明、小丽两人到达车站的时刻是互不牵连的，且每人在9时到10时的任何时刻到达车站都是等可能的.

三、应用举例

1.免费抽奖活动

在日常生活中，我们经常可以看到免费抽奖的活动，人们往往会觉得中奖的机很大.事实却不是想象的那样.这是为什么呢？用一个简单的例子来说明.

在圣诞节来临之际，某经营洗涤用品的商场推出一个非常具有吸引力的促销活动：为了答谢广大顾客对本商场的大力支持与厚爱，凡是进入商场的顾客都有机会免费参加抽奖活动.

抽奖方式：箱子里有20个球，10个红色球代表10分，10个黑色球代表5分，从箱子里（无放回）摸出10个球，把各个球上的分数加起来得出总分，按总分设置奖项如下：

一等奖：100分，某品牌变频空调一台，价值8 000元；

二等奖：50分，某品牌全自动洗衣机一台，价值5 000元；

三等奖：95分，豆浆机一台，价值500元；

四等奖：55分，电饭煲一个，价值200元；

五等奖：90分，某洗发套装两套，价值100元；

六等奖：60分，某洗发套装一套，价值50元；

七等奖：85分，某沐浴液一瓶，价值30元；

八等奖：65分，护手霜一支， 价值5元；

九等奖：80分，牙刷一支， 价值2元；

十等奖：70分，洗衣粉一小袋，价值1元；

在实际生活中，我们平时遇到的很多概率问题是古典概率问题.由于条件的限制，我们不可能在判断某个事件的概率时都计算一番.但为了尽可能地减少判断错误，我们应当仔细领会概率论的原理，透过现象看本质，作出合理的“估计”.

编辑 薄跃华