树指标马氏链关于乘积二项分布的强偏差定理

王 静， 江 婧， 王子怡， 金少华， 赵玉姝（河北工业大学理学院，天津300401）



树指标马氏链关于乘积二项分布的强偏差定理

王 静， 江 婧， 王子怡， 金少华， 赵玉姝
（河北工业大学理学院，天津300401）

［摘 要］通过构造适当的非负上鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，研究给出了树指标马氏链关于乘积二项分布的一类强偏差定理．

［关键词］非齐次树；鞅；马氏链；强偏差定理

1　引 言

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一．强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一．Dong等人在文献［1］中研究了Cayley树指标有限状态非齐次Markov链的强大数定律和渐近均分割性（AEP）．文献［2］研究给出了Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理．本文通过构造适当的非负上鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，研究给出了树指标马氏链关于乘积二项分布的一类强偏差定理．

2　定 义

设T是一个具有根顶点o的无限树，｛Nn，n≥1｝是一列正整数集，如果第n（n≥0）层上的每个顶点均与第n＋1层上的Nn＋1个顶点相邻，则称T为广义Bethe树或广义Cayley树．特别地，若对非负整数集N，用模m的同余关系对其分类得到模m的剩余类

当n∈（i）时，令Nn＋1＝αi（αi均为正整数且不同时为1），i＝0，1，2，…，m－1，就得到了一类特殊的非齐次树Tα0，α1，…，αm－1．以下恒以T表示树Tα0，α1，…，αm－1．

设G＝0，1，2，…，N｛

｝，Xσ，σ∈T｛

｝是定义在概率空间｛Ω，F，P｝上的在G中取值的随机变量族，

是G上的一概率分布，

是定义在G2上的随机矩阵，如果∀σ∈T，如si∈T满足，有

与

3　主要结果及其证明

引理3．1 设｛Xσ，σ∈T｝是具有初始分布（1）与转移矩阵（2）的树指标马氏链，k＝0，1，2，…｝如前定义，令

证 因为

定理3．1 设｛Xσ，σ∈T｝是具有初始分布（1）与转移矩阵（2）的树指标马氏链k＝0，1，2，…｝及rn（ω）如前定义．又设M＞0，0≤c＜1为常数，令D （c）为满足下列条件的样本点ω的全体

则

证 由引理3．1及Doob鞅收敛定理知，存在A（λ）∈F，P （A（λ））＝1，使得

由（3）式，（4）式与（6）式，有

由（11）式与（12）式，有

由（8）式与（13）式，有

取λ∈（1，＋∞），将（14）式两端同除以lnλ，得

由（5）式，（15）式与不等式

及上极限的性质

得

有

即得当0＜c＜1时，（9）式成立．

因为P （A1）＝1，故由（17）式知当c＝0时，（9）式也成立．

取λ∈（0，1），将（14）式两端同除以lnλ，得

由（5）式，（18）式与不等式

及下极限的性质

得

有

由（20）式知当0＜c＜1时，（10）式成立．仿照（17）式的证明可知当c＝0时，（10）式也成立．

注 金少华为本文通讯作者．

［参 考 文 献］

［1］ Dong Y，Yang W G，Bai J F．The strong law of large numbers and the Shannon－McMillan theorem for non－homogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］．Statist Probab Lett，2011，81：1883－1890．

［2］ Yang W G．A class of deviation theorems for the random fields associated with non－homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］．Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220－237．

A Class of Strong Deviation Theorems of the Product Binomial Distribution for Markov Chains Indexed by Trees

WANG Jing， JIANG Jing， WANG Zi－yi，JIN Shao－hua，ZHAO Yu－shu
（College of Science，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Abstract：Through constructing a non－negative supermartingale and applies Doob’s martingale convergence theorem to the research of a．e．convergence，a class of strong deviation theorems of the product binomial distribution for Markov chains indexed by trees are given．

Key words：non－homogeneous tree；martingale；Markov chain；strong deviation theorem

［基金项目］河北省高等学校科学技术研究重点项目（ZD2014051）．河北省“大学生创新创业训练计划”创新训练项目（201510080059）

［收稿日期］2015－07－25

［中图分类号］O177．91

［文献标识码］A

［文章编号］1672－1454（2016）01－0029－04