从Bergman空间到Bloch空间的叠加算子

吕东风（广东技术师范学院天河学院通识教育部，广州510540）



从Bergman空间到Bloch空间的叠加算子

吕东风
（广东技术师范学院天河学院通识教育部，广州510540）

［摘 要］研究从Bergman空间到Bloch空间的叠加算子．从函数空间的性质出发，利用不同维数的函数空间之间的关系，讨论叠加算子，把单变量有关叠加算子的结果推广到多变量，得到了与单变量一致的结果，从而刻画了从Bergman空间到Bloch空间的叠加算子的特征，得到了从Bergman空间到Bloch空间的叠加算子的充要条件．

［关键词］Bergman空间；Bloch空间；叠加算子

1　引 言

叠加算子的概念在实变函数中也有，且有很长的研究历史，但在解析函数空间研究这个问题最近才开始［1］．1994年，Cámera和Giménez研究了从一个Bergman空间到另一个Bergman空间的叠加算子，得到了很好的结果［2］．接着，Cámera又研究了从一个Hardy空间到另一个Hardy空间的叠加算子［3］．2004年，Venancio Álvarez M，Auxiliadora Márquez和Dragan Vukoti＇c．研究了从Bergman空间到Bloch空间的叠加算子［4］．但这些结果都是单变量的，本文主要把单变量的关于叠加算子结果推广到多变量情形．

设X和Y都是距离空间，且X⊂H（Bn），Y⊂H（Bn），其中H（Bn）表示n中单位球Bn上所有全纯函数的集合，ψ为复平面上的函数．若对任意的f∈X，均有φf∈Y，则得到一个从X到Y的映射，记为Tψ，即Tψ（f）＝ψf，我们称Tψ为从X到Y的由ψ诱导的叠加算子，ψ称为叠加算子的符号．显然，如果X中含有线性函数，则ψ必为整函数．如果X和Y均是线性赋范空间，则Tψ是线性算子当且仅当ψ（z）＝az．

很自然的问题是：对给定的X和Y，当ψ满足什么条件时，Tψ是从X到Y的由ψ诱导的叠加算子？ψ满足什么条件时，Tψ是有界的？

2　主要结论

定义1 本文中，用dm2n（z）表示中单位球Bn上的Lebesgue测度，规范化后记为即．设记，则Ap（n）为Bergman空间．

Bergman空间的性质［5］

当0＜p＜1时，Ap（n）为完备的距离空间，其距离定义为

当p≥1时，Ap（n）为Banach空间，其范数定义为

当p＝2时，A2（n）为Hilbert空间，其内积定义如下

定义2［5］记为全纯函数f（z）在点z的复梯度，则B（n）即为Bloch空间，在范数‖f‖B下，B（n）则为Banach空间．

注1 为了后面表述更为清晰，上述定义中所用记号与常用记号有所不同，主要是表明了维数．

引理1［4］设0＜p＜＋∞，φ是一个整函数，则算子Tφ（f）＝φf为从Ap（1）到B（1）的叠加算子当且仅当φ（z）＝c，z∈，c为常数．

由引理1，可推出如下定理1．

定理1 设0＜p＜＋∞，φ是一个整函数，那么算子Tφ（f）＝φf为从Ap（n）到B（n）的叠加算子当且仅当φ（z）＝c，z∈，c为常数．

为证明定理1，先证如下引理2：

引理2 Ap（k）⊂Ap（n），其中1≤k＜n．

证 设f∈Ap（k），令g（z）＝g（z′，z″）＝f（z′），其中

因为f∈Ap（k），故．此时

引理3 设1≤k＜n，g（z）＝g（z′，z″）＝f（z′），其中

则g（z）∈B（n）当且仅当f（z′）∈B（k）．

证 必要性． 设g（z）∈B（n），由于＝

故f（z′）∈B（k）．

故g（z）∈B（n）．

定理1证 充分性显然成立，只需证明必要性．

必要性．对任意f∈Ap（1），由引理2可知f∈Ap（n）．因为Tφ（f）＝φf是从Ap（n）到B（n）的叠加算子，故对任意的f∈Ap（1），有φf∈B（n），而f只依赖一个变量，故φf也只依赖一个变量，从而由引理3可知φf∈B（1），所以Tφ（f）＝φf也是从Ap（1）到B（1）的叠加算子，由引理1可知，φ（z）＝c，z∈，c为常数．

注3 结合定理1、引理2、引理3可得出更一般的结论，即定理2．

定理2 用X（n）和Y（n）表示两个距离空间，且Χ（n）⊂H（Bn），Y（n）⊂H（Bn）．设ψ为复平面上的函数，X（n）具有性质X（1）⊂X（n），Y（n）具有性质g（z）＝g（z′，z″）＝f（z′）∈Y（n）当且仅当f（z′）∈Y（k），其中z＝（z′，z″），z′＝（z1，…，zk），z″＝（zk＋1，…，zn）．那么，如果算子Tφ（f）＝φf为从X（n）到Y（n）的叠加算子，则算子Tφ（f）＝φf为从X（1）到Y（1）的叠加算子．

［参 考 文 献］

［1］ Appell J，Zabrejko P P．Nonlinear Superposition Operators［M］．Cambridge Tracts in Mathematics95，Cambridge：Cambridge Univ．Press，1990．

［2］ Cámera G A，Giménez J．The nonlinear superposition operators acting on Bergman spaces［J］．Compositio Math，1994，93：23－35．

［3］ Cámera G A．Nonlinear superposition on spaces of analytic functions，in Harmonic Analysis and Operator Theory （Caracas，1994）［J］．Contemp．Math．，1995，189：103－116．

［4］ Venancio Álvarez M，Auxiliadora Márquez and Dragan Vukoti＇c．Superposition operators between the Bloch space and Bergman spaces［J］．Arkiv för Matematik，2004，42（2）：205－216

［5］ Zhu K H．Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball［M］．New York：Springer，2004．

Superposition Operators from the Bergman Space to Bloch Space

LV Dong－feng
（General Education Department，Guangdong Polytechnic Normal University，Gangzhou 510540，China）

Abstract：We research the superposition operators from the Bergman space to Bloch space．With the nature of function spaces and the relationship between the function spaces of different dimensions，we discuss the superposition operators，generalize the results of superposition operator about single variable to multiple variables and obtain the results that are consistent with the ones of single variable．It describes the nature and obtains necessary and sufficient conditions of the superposition operators from the Bergman space to Bloch space．

Key words：Bergman space；Bloch space；superposition operators

［收稿日期］2015－04－23

［中图分类号］O177．1

［文献标识码］A

［文章编号］1672－1454（2016）01－0026－03