“行程问题中的数量关系”教学思考

费建锋

一、学情分析

1.新旧人教版中行程问题教学内容编排不同。

四上旧版的人教版教材中，行程问题的学习是渗透在三位数乘两位的“口算”和“笔算”教学中的，比较淡化“行程问题中的数量关系”的教学。

现行的人教版教材中，行程问题的数量关系是专门设立一节单独的课，而且安排在三位数乘两位数整个单元教学的末尾。

从以上两个版本的对比可以说明，现行的人教版教材更加注重数量关系的教学。旧版主要侧重乘法的计算与算理，在乘法计算中渗透行程问题的数量关系；而新版中比较侧重数量关系的教学，利用数量关系来帮助学生解决问题，加深理解它们之间的关系。

2.学生已有解决此类问题的能力，怎么教学。

发现学生基本能用算式正确表示，全班42名学生，前测了之后，40名学生的列式解答是正确的，正确率95%。在数量关系的表达上学生有些问题，对班级学生的表达情况做了一个统计：

数量关系解答情况没有答的写描述性的：每小时70千米，行了4小时。写：70千米×4小时写：速度、时间、路程写：速度×时间=路程人数 12人 13人 8人 3人 6人占比 28.6% 31.0% 19.0% 7.1% 14.3%

教学内容学生早有接触：类似这样的行程问题，学生早已比较熟悉了，在二年级学习了时间单位之后，就接触过这样的问题，尤其是到了三年级，学习了两位数乘一位数后，这样的题目更是遇到的多了。因此，对于行程问题学生并不陌生，生活中也是经常遇见。

知识基础学生已有学过：在此之前，学生已经学完了整数的乘法计算，除数是一位数的除法，所有的长度单位知识和时间单位知识。

数量关系以往有所渗透：通过访问学生的形式，我们发现，数量关系的教学，在以往的教学中教师是有所渗透的，一些学生答到“这样的数学关系，我们老师以前讲过的。”也有一些学生讲到“我们老师以前没有讲过，所以我不知道什么是数量关系。”

3.针对实际学情，对教学内容提出新的疑问。

问题1：类似这样的教学内容，学生早有知晓，我们的课堂教学该如何去组织？难道像练习课或复习课这样去巩固一遍吗？

问题2：学生已有这么高的教学起点，又该如何去拓展，拓展到何方呢？

二、学习路径

1.理清数量关系的表述层次。

《数学课程标准》中讲到，数学是研究数量关系和空间形式的科学。显然，研究数量关系就是在研究数学，也说明了数量关系在数学学科中的重要地位。数量关系在整个小学阶段，就其概括程度，可分为具体、专用、抽象的数量关系，要求学生的表述也是有所侧重的，在低中段学生中，要能理解或表述具体情境中的数量关系，而到中高段需要学生概括出不同的数量关系，最后掌握这些数量关系的结构模型。

（1）具体的数量关系。

具体的数量关系就是从具体内容中列出具体数量关系式，学生在理解题意的基础上能够表达这样的数量关系。

如：每件衣服价格×件数＝衣服总价；

每排的人数×一共有几排＝一共的人数；

汽车每小时行的路程×行的小时数＝一共行的路程

（2）专用的数量关系。

专用的数量关系就是从若干个具体数量关系式中概括出专用数量关系式。

如“单价×数量＝总价”，它是多个相关的数量关系概括得到的，每件衣服价格×件数＝衣服总价，每个篮球的价格×个数＝篮球总价，每张桌子的价格×张数＝桌子总价，等等，从而来概括单价、数量和总价这3个专用名词，形成一个专用的数量关系。再如，“速度×时间＝路程”，“工作效率×时间＝工作总量”，也是如此。

（3）抽象的数量关系。

抽象的数量关系是指在运用数量关系的过程中高度概括得到的。在小学阶段，可以概括成最基本的四个：部分数与总数的关系；两个数相差关系；每份数、份数与总数的关系；两个数的倍数关系。

2.理解数量关系的数学本质。

理解数量关系，解决数学问题的过程就是从现实生活中或具体情境中抽象出数学问题，利用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果。本课中，行程问题的数量关系教学，不仅要让学生理解关系的意义，利用数量关系解答相关的题目，还为学生的后续学习，即正反比例的学习，起到了一个渗透的作用。

（1）理解算式关系的价值。

在“课程内容”的第二学段“数的运算”的第7条明确指出：“在具体的情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题。”

学生在解决以下两个问题的时候，主要让学生明白：

算式与数量关系是相对应的；

已知（ ）和（ ），求（ ），可以运用怎样的数量关系来求。

（2）函数关系的价值。

我们经常看到，在六年级学习“正反比例”的时候，学生理解起来比较麻烦，学生很难弄清楚正反比例的关系。其实正反比例关系就是数量之间的变化关系，在这里可以让学生体会和感受到，路程不变，乘坐不同的交通工具，时间是不一样的，速度变了，时间也会变；速度不变，行的时间越长，行的路程就越多。

想一想，填一填。

速度（千米/时）时间（小时） 路程（千米） 数量关系①20 2 40②20 4 80③20 8 160

仔细观察第一张表格，我发现：

3.理顺数量关系的教学思路。

纵观以上的分析与思考，对于这节课有了系统的思考和整体的把握。可以把这节课的教学目标设定为：使学生通过具体的生活事例理解概括“速度、时间、路程”的实际含义；理解“速度、时间、路程”之间的数量关系，渗透函数思想；初步培养学生运用数学语言表达数量关系的能力，并能灵活运用数量关系解决实际问题；提高对数学学习的兴趣。

（1）自主抽象数量关系，认识数量关系表述的层次性。

数量关系的表达，在不同的年段有着不同的要求，在低段要求学会用具体的数量关系式来表达，帮助学生理解题目的意思，到了中高段要求学生学会专用的数量关系，建立起题型结构。

①抽象出专用数量关系。

学生通过数量关系的前测作业，可以叙述具体的数量关系表达式，在理解了具体的数量关系后，让学生抽象出行程问题中专用的数量名词，速度、时间和路程，可以让学生感受到专用的数量关系比较简洁和贴切，体现数学学习的简洁性。

②突破“速度”这一难点。

这里对学生来说，“速度”的概念比较抽象，不像路程那么明确，不像时间那么常见，并且速度的单位是由两部分组成的，它的表示形式学生从未见过。因此，教学关键是让学生从大量的生活实例中感知并理解速度的含义。通过计算自行车、飞机、宇宙飞船的平均速度，让学生比较“千米 /小时”、“千米 /分”、“千米 /秒”三个单位，自主小结出“速度表示每小时、每分钟、每秒钟行走的千米数”。再以汽车仪表盘上时速表，发现“km/h”这一速度单位，感受“速度”在我们实际生活中的应用。

（2）创设教学问题情境，理解数量关系内涵的多元性。

解决问题的教学，离不开情境，通过情境，可以帮助学生理解数量关系，解决实际问题，从而体现数量关系的价值。

①体现算式关系。

这是刚才数量关系的一个简单变式，求速度和求时间的问题。通过前面的学习，学生对行程问题的题目已经有了一个结构化的认识，它有速度、时间、路程三个要素构成。已知“速度×时间＝路程”，根据算式关系，学生可以推导出“速度=路程÷时间，时间=路程÷速度”。教学时，要重视帮助学生分清条件和问题，熟悉数量关系，建立“问题—条件—算法”之间的联系系统，即要求（ ），必须要知道（ ）和（ ）这两个条件。

②体现函数关系。

问题情境：小明从家到学校有1500米，采用两种不同的方式。一种是走着去，一种是骑自行车去。哪种方式会快一些？

这里初步让学生感受到，路程不变的情况下，速度快了，时间就少了，速度慢了，时间就多了。

再者可以让学生体验一下，哪个图表示的是走路，哪个图表示的是骑车？渗透统计图的知识来领悟路程与时间的关系。(如下图)

再是利用“题组”的训练形式，领悟数量之间的变化情况，在理解它们之间的变化情况的同时，联系“积的变化规律”，进一步加强对学生数感的培养。

想一想，填一填。

速度（千米/时）时间（小时） 路程（千米） 数量关系① 20 2② 20 80③20 8 160

仔细观察这张表格，我发现：

速度（千米/时）时间（小时） 路程（千米） 数量关系①8 160②40 8③80 640

仔细观察这张表格，我发现：___________

速度（千米/时）时间（小时） 路程（千米） 数量关系① 80 640②40 16③10 640

仔细观察第一张表格，我发现：___________

（3）创设现实问题情境，感受数量关系应用的灵活性。

数学的价值在于使学生学会运用所学的知识去分析、解决生活中的问题，关键在实践运用。生活中有着丰富的数学资源，它们都是学生实践运用的最佳素材。

①总结行程问题中的数量关系：

②举一反三：这种“一乘二除”的形式：

单价×数量=总价

每盘苹果数×盘数=苹果总数

每张课桌的价格×课桌的数量=课桌的总价

……

③构建出数学模型：

从行程问题的基本数量关系拓展到“单价×数量=总价”、“每盘苹果数×盘数=苹果总数”等，从而归纳出“每份数”、“份数”和“总数”之间的关系，引导学生在实践应用中构建了数学模型。从具体到抽象，促进了学生思维的发展和知识体系的完善。