巧用类比明晰数式关系——《分数与除法的关系》教学片断

田秋月

片断一：巧用类（对）比，聚焦问题

【第一组】

问题1：把8个桃子平均分给4个人，每人分得几个？

问题2：把4个桃子平均分给4个人，每人分得几个？

【第二组】

问题3：如图这两组题有什么相同与不同？

生：这两组题都是平均分，所以都用除法计算。

生：都已知总数和份数，求每份数，所以用总数÷份数=每份数。

生：1÷4=?（块），3÷4=?（块）。

师：从这两组问题算式所得的商来看，有不同之处吗？

生：第一组的除法能整除，商是整数；第二组不能整除，商需用分数表示。

【设计意图：借助类比和对比有效利用问题情境，学生列式时思路连贯地想到：平均分的问题用除法解决。然而相同之中也有区别，前两个算式“8÷4、4÷4”都能算出整数商，而“3÷4”却不然。这一变化刺激学生打破已有认知限域，促使其关注新问题：除法算式得不出整数商时该怎么算？于是带着这样的任务驱动开始接下来的探究活动。】

片断二：巧用类比，转化问题

师：1个月饼平均分给4个人，每人分得（）个。

生：（用一个圆纸片演示过程）把一块月饼平均分成4份，一份就是。

学生汇报：

方法一：逐一剪、分。

方法二：全部剪完再分：

生：如图把3个圆片都平均分成4份，共有12块，再将12块均分给4人，每人分得3块。

师：按照他的意思就是每人分得3块月饼，同意吗？

生：不同意，一共就3块月饼，平均分给4个人，每人连1块都分不到，不可能分得3块。

方法三：叠起来整体分：

生：如图把3个圆片叠在一起，看成一个整体，把这个整体平均分成4份，每人得到1份，就是，实际展开有3块，即3个是块。把3块月饼平均分成4份，每份是块，所以3÷4=（块）。

师：这三种方法操作起来各有特色，但也有相同的地方，发现了吗？

生：方法一、二都是把1个圆片看成单位“1”，平均分成4份，每份就是，3个块就是块。

生：方法三是方法一的简化操作版，一起剪、一起分，每份是3个块，就是块。

【设计意图：将抽象的“3÷4”转换成一个具体的、可视的分饼活动，方法一是分割1块饼的行为的重复，体现了累加的过程；方法二是整数计数思路，也是学生最容易理解、从而也比较喜欢的一种方式，将3块饼转化成12个块，再均分给4人，每个人得到的是3个块即块；方法三是把3块饼“摞”成1个整体，整体4等分，每份由块饼构成。引导学生对这些方法进行类比，凸显过程的本质是“单位的累加”——前者叠加的是“”，后者叠加的是“”。每份累积了几个“1”就是几，几个就是四分之几。】

片断三：巧用类比，深化关系

师：现在不再分月饼，而要分瓜子了！把不同质量的瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

总质量 1千克 2千克 5千克每份质量

问题1：把1千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

问题2：把2千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

问题3：把5千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

教师出示表格并延长：（a、b为非零自然数）

总质量 1千克 2千克 5千克 10千克a千克每份质量 1 3千克 2 3千克 5 3千克

师：总质量是10千克呢？

师：如果是任意一个非零自然数a呢？

师：如果a千克瓜子不是平均分成3份，而是平均分成b份呢？

【设计意图：瓜子总质量分别设置为1千克、2千克、5千克、10千克、a千克，旨在帮助学生逐步积累分数与除法关系的体验，最后归纳、概括为形式化的表征——a÷b=。大量的活动经验累积到一定程度，遇到类似问题时就不需要、也不可能每次都分饼、画图、去找原始方法了，一般化法则就水到渠成了。】

【编辑点评】

田老师教学的《分数与除法的关系》，有鲜明的教学特色。主要体现在三个方面，一是基础性、二是开放性、三是发展性。

基础性 表面看，分数与除法的关系研究的是关系，但学生要形成对这个关系的理解，是以分数的意义为基础的，其中最重要的是单位分数的意义。教学中，田老师通过类比与对比的方法，帮助学生理解算式与结果的含义。由于分数与除法共享平均分的概念，上面的问题，可以用除法计算，用分数表示结果。让学生先理解“1块月饼平均分给4个人，每人分得多少”，再思考“3块月饼平均分给4个人，每人分得多少”。类似的，要求“把2千克或5千克瓜子平均分给3个人，每人分到多少千克”，也可以回到原点上，先思考“1千克瓜子平均分给3个人，每人得多少”。以理解单位分数作为思考的基础，让学生通过类比与对比解决问题，不仅是一种教学的手段，也是解决问题的思维活动经验。

开放性 这节课教学的核心问题是3个月饼平均分给4个人，每人分得几个？答案是一致的，就是，可是学生探索得到这个答案的过程是相当开放的，不同的学生有不同的思路。比较可贵的是田老师在教学中，充分地放手让学生去探索研究，并解释他们获得这个结论的过程。可以看到，面对这个问题，有的学生转化为整数进行思考，如方法二；有的学生通过单位分数的累加获得答案，如方法一和方法三。但是，从外在的形式上看，这两种又是有区别的，相比较而言，方法三操作比较简单，但对分数意义的理解要求要高一些。课堂教学的开放性，主要体现在过程上，特别是充分地展开探索发现的过程，让学生有机会交流各自不同的思考方法，学生的视野才会开阔，思维能力才能得到发展。

发展性 这节课与其说是教学分数与除法的关系，不如说是教学除法运算转为分数表示的规律，就是被除数相当于分子，除数相当于分母。田老师在教学中，通过列表的方式，引导学生思考1千克、2千克、5千克、10千克、a千克瓜子平均分成3份，每份是多少。显然a千克的均分要比其它具体数量的均分更加抽象，但有了前面积累的类比与对比的思维经验作为基础，学生理解并不难。需要强调的是，从已知量到未知量的跨越是非常重要的，它是对前面具体案例的概括，它有利于学生理解分数与除法有恒定的关系，对于学生代数思维的发展是一个重要的推动。