小学数学教学应渗透数学思想方法——以《鸡兔同笼》教学为例

陈华忠

“鸡兔同笼”这个数学问题，是一个中国传统数学名题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。针对这一问题，我们要深入分析与挖掘它蕴含着独特的数学思想和背景文化，通过学习“鸡兔同笼”，不仅要让学生感受祖先的聪明才智，更要让学生体会到它的解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生自主探究学习的能力。

一、在分析解题中有机渗透数学思想方法

本节课的教学内容是教材先说明“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学问题，再由生动有趣的古代课堂情境引“鸡兔同笼”原题，并对原题给予解释，由小精灵提出“这个问题你能解决吗？”但由于“鸡兔同笼”原题的数据较大，不便于学生进行探究，所以教材以化繁为简的思想为指导，先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让学生探究解决，还考虑到“鸡兔同笼”对学生尤其是基础不好的学生来说有一定的难度。为此，教学时主要借助教材上的列举法同时结合引导学生图形结合（即画图法）的基本解题思路，再配合假设法，从中引导学生对这些方法进行对比，进行数学思想方法的渗透。

1.列举法。

通过列举解决问题就是把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。列举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。在学生刚接触“鸡兔同笼”问题时，学生要列式计算往往感到困难。但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，学生可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用列举法（即一一列举）来解决问题，学生一般用顺序列举法，按从大到小或从小到大依次列举，可以有效避免疏漏或重复。列举法常常借助于列表来及时记录每一种可能的结果。如：逐一列举法。

鸡/只 8 7 6 5 4 3 2 1 0兔/只 0 1 2 3 4 5 6 7 8脚/只 16 18 20 22 24 26 28 30 32

当数据较大时，可以引导学生根据数据的特点按一定的间隔或从中间数开始列举，不断优化列举法，灵活快捷地解决问题。但当问题中的数据比较大的时候，列表的方法就会很繁琐、复杂，这时列表法就有一定的局限性。

2.数形结合法。

利用“数形结合”，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，使问题化难为易，化繁为简，激发学生学习兴趣。在教学“鸡兔同笼”问题时，根据上题中数据较小的特点让学生用画图法解题：

运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问题的学生来说，不仅学得有趣、简单，而且能加深用假设法解题的思路的理解，发展学生的思维能力。但数字大的时候，画图也是比较麻烦的。

3.假设法。

假设法是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，将复杂的问题简单化、明朗化，从而迅速找到解题思路。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养学生灵活的解题技能，发展学生的逻辑推理能力。用假设法解答上题有多种思路，可以先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设情况下总脚数之差，最后推理出鸡和兔的只数。比如假设8只都是鸡，则腿的条数是 16条（8×2），比实际的少了 10条（26-16），那么就必须用兔子去换鸡，一只兔换掉一只鸡就会多出两条腿（4-2），那么，少掉的10条腿就必须用5只兔子去换，即 10÷（4-2）=5（只）求出兔子的只数，最后8-5=3求的就是鸡的只数。反之假设8只都是兔。

运用假设法解题是教学的难点，借助之前的画图法使学生在直观操作活动中建立思维的表象，再进一步抽象，最后又归纳总结成顺口溜：“鸡兔同笼并不难，设鸡设兔全由你，设鸡算出兔，设兔算出鸡。”这样有助于学生真正理解“假设法”，形成有序地、严密地思考问题的意识。

“鸡兔同笼”问题的解法非常之多，每种解法中都渗透着不同的数学思想方法，使学生从中在情感态度、思维能力与价值观等方面得以提升,增强数学文化素养。

二、在巩固运用时有机渗透数学建模思想

俗话说:“授人以鱼不如授人以渔。”这句话道出了培养数学模型思想的重要性。中国传统数学历史名题正是为数学模型的发展提供了这样一个平台。数学名题中渗透的数学思想、数学名题本身的模型作用都可以让学生在潜移默化中逐步感受、领悟和掌握数学思想。在解决了“鸡兔同笼”问题后，可以引导学生观察、思考，概括提炼出解题模型：兔数=（实际的脚数－鸡兔总数×2）÷（4-2），鸡数 =（鸡兔总数×4-实际的脚数）÷（4-2）。之后在应用中引导学生巩固、扩展这个模型，把“鸡”与“兔”换成乌龟和仙鹤等，变式为“龟鹤问题”、“坐船问题”、“植树问题”、“答题问题”、“篮球赛中的得分问题”等问题，沟通这些问题与“鸡兔同笼”问题的联系，使“鸡兔同笼”成为这些问题的模型，并应用模型解决问题，不断促进模型的内化，使数学建模成为学生思考问题与解决问题的一种思想和方法，从而强化学生学数学、用数学的应用意识，让学生真正感受到数学与生活密不可分，数学知识来源与生活，同样也运用于生活。

三、在教学过程中提升数学思想文化情感

“鸡兔同笼”问题是《孙子算经》中的一道名题，它流传广泛，影响深远，引起了许多国家众多数学爱好者的广泛关注。除学习它的解法外，更重要的要做好经典数学文化遗产的传承和弘扬。在历史悠久、繁花似锦、成就辉煌的数学百花园中，有一丛绚丽多姿引人入胜的瑰宝，这就是“世界名题”。它们以严密的逻辑推理使人叹服，又以匠心独具的构思模式令人陶醉。有的题目历经几代数学家的苦心求索，得出了一些精巧绝伦的解法，赏心悦目，极富诱惑力。如“哥德巴赫猜想”、“费马大定理”、“九点圆”、“哥斯尼堡七桥问题”等等。一个小小的六角幻方，竟花去亚当斯52年的时间。马克思以演算微积分为休息，苏步青“演算万题成才”传为佳话，陈景润那传奇式的“两麻袋算题稿纸”则成了向数论顶峰攀登的路标。如此的情境，让学生在演绎数学历史的过程中激发民族自豪感，在与数学家的对话中感悟探索的精神，在了解数学的现代文明成果中激起为社会服务的使命感，在挖掘数学美育功能的过程中领略数学的奥秘，在应用数学解决问题的过程中培养发展意识与实践能力，在探索数学思想方法的过程中形成实事求是的态度和科学求真的精神。