巧借各种经验建构数学概念

吴林法

[摘 要]在学习概念前，学生往往结合自己的知识储备，对相关的概念有了一定的认识和了解，并初步形成自己的观点和看法。因此，教师应善于运用各种生活经验和数学经验作为产生与孕育科学概念的“生长点”开展教学，使数学概念的教学真正有效，易于学生理解和掌握。

[关键词]数学概念 经验辅助 策略方法 数学经验 生活经验

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-031

在学习数学概念的过程中，如果学生已具备学习新概念所必需的学习经验，就容易形成对新概念的建构；反之，就不能真正理解新概念的内涵和外延，从而出现知识断层。鉴于此，课堂教学中，教师应从学生的生活经验、数学经验和综合经验三个方面入手，探寻概念教学的有效策略。

一、善用生活经验，厘清思路

概念教学时，教师需要关注学生已有的生活经验，针对不同的教学内容采取不同的策略，引领学生科学建构数学概念。

1.基于已有的生活经验——抽象和提升

很多日常的生活经验都能为学生学习提供支撑，所以教师要善于发现并注重其对学生数学学习的价值，以生活现实为基点，一步步抽象、提升，引导学生科学建构数学概念。例如，教学“三角形的高”时，我创设“谁家房子更高”的生活情境，先让学生观察情境图中小鸡家的房子（形同锐角三角形）和小猫家的房子（形同直角三角形），再提问：“用数学的眼光看这个问题，你怎么看？”在问题的驱使下，学生发现了由顶点向对边画线段的解决策略。我引导学生比较分析：“连接顶点和对边任意一点得到的线段与由顶点向对边画垂直线段，哪种方法合理，为什么？”由此抽象出三角形的高的概念，并引导学生在认识和理解概念的基础上学习画高，但学生在画钝角三角形的高时仍不免出现错误（如右图）。于是，我追问：“如果把它看成是一座奇特的房子，它的房顶在哪儿，离地面有多高？”通过问题，重点引导学生在对比分析中感悟画高需要找寻到的基本要素和满足的条件，使学生在获得数学经验的同时，加深对所学概念的认识。

2.针对原型经验缺失——寻找与链接

学生在学习过程中，往往一时难以找到与学习内容相关联的生活原型经验。这时教师就要运用一定的方法或手段帮助学生寻找数学在生活中的原型，再以有趣、生动的组织形式激活这些知识原型，为经验向新知有效迁移做好准备，从而实现生活与数学的链接，使学生科学建构数学概念。例如，教学“认识公顷”时，由于生活中较少用到这一单位，所以学生很难找到与之相关联的原型经验。这时教师可以运用合情推理，先引导学生由一个教室约是50平方米推理得到1公顷大约是200个教室的面积总和或几个操场的面积总和，再展示周边面积约是1公顷的生活场所的照片，让学生思考这些地方相当于几个学校的大小、大约是几公顷。

此外，学生生活经验的缺失影响着几何概念的建构，导致在解决实际问题时不会选择相应的计算公式。尤其是对于求表面积的问题，单纯求六个面的面积还好，如果求其中几个面的面积，学生出现的错误更是五花八门了。如求游泳池粉刷的面积、抽屉木板的面积、计算通风管的面积、给阶梯铺瓷砖的面积等，这些求表面积的题目，部分学生无法将长方体和正方体的数学模型与生活实际对应起来，不知道该求几个面的面积或求哪几个面的面积。例如，教师可让每个学生准备一个火柴盒，内盒可以看作是一个游泳池、抽屉等没有盖的五个面的长方体，外壳可以看作通风管等只有四个面的长方体，整个火柴盒就是一个完整的长方体。有了这样的一个数学模型，学生在了解所求物体的实际应用特征后，再拿出来看看，就能正确计算出面积了。

3.针对日常概念的干扰——区别与沟通

概念可分为数学概念和与之相对应的日常概念，两者往往是有所区别的，甚至有时日常概念与数学概念完全相悖，严重干扰数学概念的建构。因此，教师在教学中要注意对日常概念和数学概念两者之间进行区别与沟通，努力消除日常概念的不良影响，帮助学生建构正确的数学概念。例如，教学“角”的概念时，教师事先给学生提供典型材料（如五角星、三角尺、小闹钟等），问：“谁能在它们身上找到数学王国里的‘角？”通过问题引导学生仔细观察，积累感性经验。接着，通过课件隐去与角无关的元素，仅仅呈现角的几何模型，并指出这些图形都是数学上所说的角。然后让学生在视觉上与生活经验信息库里的角进行区别，并引导学生观察这些角的相同之处（都有一个顶点、两条边），从而抽象出角的本质属性。最后让学生找找生活中还有哪些物体的身上有这个新朋友的影子，促使学生主动与原认知进行沟通。

二、 智用数学经验，指引沉淀

在课堂教学中，教师要基于学生已有的数学经验选择相应的教学策略，使学生在教师的指引下真正理解所学概念的内涵。

1.面对学生隐性的数学经验——类比与打通

学生在学习一个新概念时，有时很难从自己的大脑信息库中提取出与之相关联的数学经验和新知进行对接。这就需要教师激活学生内隐的数学经验，通过运用类比的方法拓展学生的思路，引导学生从直观的显性经验中提炼出抽象的数学概念，感悟概念的本质。例如，教学“假分数”时，教师设计“分饼”的操作活动（如下图），让学生用除法算式表示分饼的过程，并用分数表示分饼的结果。然后教师引导学生进一步观察算式，这里，教师通过“分饼”的操作活动，引导学生经历了假分数产生的过程，将学生隐性的数学经验激活并转化为显性经验，再通过类比的方法拓展学生的思路，使学生领悟假分数就是分数单位不断累加的结果。

2.面对学生片面的数学经验——暴露与辨析

学生受思维水平的影响和限制，在分析问题时容易以偏概全，导致对概念的构建只停留在表面。这就要求教师必须采取有效的策略，引领学生从片面走向全面、从表面走向本质。例如，“分数初步认识”的教学，教过低年级的教师都有这样的感受：只要让学生分东西，他们马上想到的是等分，在他们的内心分一分就是等分。也就是说，学生对“分”的活动经验是片面的，严重影响了分数概念的建构。对此，教师可于课始创设“我当服务员给小伙伴分餐”的生活情境，揭示分东西时有等分和不等分两种情形，并强调这节课是进一步研究有关等分的问题。这样教学，既使学生从整体上建构数学知识，又为后面通过等分认识分数打好基础。

3.针对学生缺失的数学经验——补充与激活

教学中为帮助学生顺利建构新概念，教师有必要主动对学生学习新概念所应具备的数学经验进行查漏补缺，使学生科学建构数学概念。例如，“体积”概念的构建必须基于“空间”和“占空间的大小”的概念认识之上，而学生对这两个概念的数学经验是缺失的，所以有教师在教学时特意创设“往放有石子的玻璃瓶内倒水”的情境和进行“把装有猕猴桃和小番茄的玻璃杯倒满水”的实验，使学生在问题情境和实验中认识了什么是“空间”及“占空间的大小”。这样教学，不仅补充和激活了学生学习新概念时所必需的相应的数学经验，为新概念的顺利建构巧设伏笔，而且有效修复概念教学的断层。

三、活用综合经验，整体提升

在学生建构某一新概念后，教师都会安排学生做一些针对性的巩固练习，以使学生在练习中得到巩固和提高。但仅限于此仍是不够的，教师还要从同一学科整体、不同学科综合的角度出发进行整体谋划，让学生深刻理解概念的内涵和外延，提高问题解决的能力。

1.延伸间接经验——温故与知新

小学数学学习内容划分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域，各领域中又划分出不同的知识板块，每个板块涉及不同的知识点，这些知识与知识之间不是孤立存在的，而是有着千丝万缕的联系。教学中，教师要灵活运用变式，唤起学生不同领域、不同板块、不同知识点的相关经验，通过沟通彼此间的联系，实现对已学概念的巩固和提升。例如，以延伸图形运动与变换的学习经验为例，教师在教学中可以从动态的角度，运用对称、旋转运动变换引导学生进一步认识图形和图形的特征，如“圆柱是长方形以长或宽为轴旋转而成的”“圆是轴对称图形”等，促使学生进一步感悟圆柱体、轴对称图形等概念的本质特征；在“图形的测量”教学中，可以运用平移、旋转变换，引导学生进一步深化周长、面积等概念本质的认识，提高灵活解决一些较复杂的周长、面积计算问题的能力；在“图形与位置”教学中，可将图形置于直角坐标系中，引导学生研究变换前后图形的位置关系，回顾数对的概念，进一步感受数对的变化特点，加深对数对概念外延的理解。

2.丰富直接经验——拓展与应用

“综合与实践”为学生走出课堂，亲身经历学、做数学和理解数学提供了契机。教师可以结合综合实践活动，合理重组教材内容，由课内拓展到课外，使学生在问题解决的过程中丰富直接经验，巩固对新旧概念的认识，提高解决问题的能力。例如，在教学“较大计数单位万的认识”时，课尾，教师设计了不同数学实践活动供学生自主选择，如“估计学校图书馆的藏书量”“估计体育馆中座位的数量”等。这样教学，使学生在任务驱动下经历问题解决的过程，既丰富了直接经验，又巩固、加深了对“万”这一计数单位的认识。再如，在教学“公顷”后，教师可先组织学生参观果蔬实践基地，让学生沿着大约1公顷面积的土地四周走一圈，获取公顷面积大小的直接经验，再组织学生对果农、菜农进行访问与交流，了解100平方米面积的作物产量和产值，估计1公顷的产量与产值。通过这样的活动，使学生进一步感悟数学来源于生活、服务于生活。

总之，有效教学是每一位教师的追求，我们应不懈地努力探索着。今天，我们借助各种经验这一新的视角探索概念教学，迈出了最艰难的第一步，而这仅仅只是开始，今后还有更多更多的问题亟待我们深思和解决。让我们一起继续行走在探索的道路上，使数学概念教学真正有效、高效，让学生得到不同的发展。

（责编 蓝 天）